数学の問題です。わかる方回答お願いします。

質問

数学の問題です。わかる方回答お願いします。
xを正の実数とし、座標平面上のA(0,1),B(0,2),C(x,x)をとり、△ACBを考えます。xが変化するとき、∠ACBの最大値を求めてください。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

あまりエレガントな解法ではありませんが…。

ACを通る直線がx軸となす角をα、
BCを通る直線がx軸となす角をβとすると
tanα=(x-1)/x,tanβ=(x-2)/x,∠ACB=α-β
tan(α-β)=x/(2x^2-3x+2)=f(x)
(加法定理から、途中の計算は省略）

ここでx>0より分子は正であり、
分母も2(x^2-(3/2)x+1)=2((x-(3/4))^2+7/8>0 だから
f(x) が最大となるのは1/f(x)が最小となるときである

これをg(x)とおくと、g(x)=2x-3+(2/x)
x>0 だから相加平均と相乗平均の関係から
2x+(2/x)≧2 √(2x(2/x))=4
等号は2x=(2/x)つまりx=1のとき

したがってg(x) はx=1のとき最小値g(1)=1をとり
このときf(x)は最大値f(1)=1をとります。
tanACB=1 より ∠ACB=45°です。

回答No.2

info22_

余弦定理より
∠ACB=t(0<t<π/2)とおくと
cos(t)=((x^2+(x-1)^2)+(x^2+(y-2)^2)-1)/(2*√((x^2+(x-1)^2)*(x^2+(x-2)^2))
=(2x^2-3x+2)/√((2x^2-4x+4)(2x^2-2x+1)) (x>0)

右辺=f(x)とおく。
f'(x)=0とするx(>0)を求めると x=1
x>0でのcos(t)の増減表を描いてcos(t)の最小値を求めると
cos(t)=f(1)=1/√2
このとき tは最大値を取り、最大値は　t=cos^-1(1/√2)=π/4 [ラジアン]（=45°）
となる。
なお、このときのCの座標は(1,1)となります。また
AB=AC=1、BC=√2,△ABC=∠R、∠ABC=∠ACB=45°となります。

回答No.1

DIooggooID

今回の場合では、△ACB　が二等辺三角形になった時、

∠ACB　が最大になるので、　そこから導いてください。