座標変換について

質問

座標系XYZの空間に点A(X1,Y1,Z1)、点B(X2,Y2,Z2)、点C(X3,Y3,Z3)があります。

この３点を通る円の中心をP(X0,Y0,Z0)とし、
円の存在する平面をx'y'平面とします。
さらに原点を点P、x'軸はPAを通る直線とします。

座標系x'y'z'から円周上の点D(X',Y',Z')を求め
座標系XYZに変換した(X4,Y4,Z4)を求めたいのですが、どうすればよいのでしょうか？

以下のようにすれば求まると思うのですが角度α、β、γの求め方が分かりません。

X'' = X' * cosα - Y' * sinα
Y'' = X' * sinα + Y' * cosα
Z'' = Z'

X''' = X''
Y''' = Y'' * cosβ - Z'' * sinβ
Z''' = Y'' * sinβ + Z'' * cosβ

X4 = X''' * cosγ + Z''' * sinγ
Y4 = Y'''
Z4 = Z''' * cosγ - X''' * sinγ

よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

やり方を見る限り、いろいろと回転させているのだと思いますが、どういう目的で回転させているのかが分からないので、答えにくいのですが、、、

(1) 点Pを原点に平行移動
(2) 平面ABCに垂直な直線z軸に平行になるように、x,y軸の周りに回転させる
(3) PA→がx軸に重なるようにz軸の周りに回転させる
のようにすれば、XYZ上の座標をx'y'z'の座標に移す事ができます。

(1)については点Pの座標が分かれば、どれだけ平行移動すればいいのかは分かります。
(2)については、ABC平面に垂直なベクトル(AB→×AC→等)があれば、どれだけ回転させればいいのかが分かります。
(3)については、(2の変換を施した後の)AP→の各成分が分かれば、どれだけ回転させればいいのかが分かります。

x'y'z'の座標をXYZの座標にするには、上の操作の逆をたどればいいだけですので、頑張れば求まりますね。

あるいは、
e_z'→=AB→×AC→/|AB→×AC→|
e_x'→=PA→/|PA→|
e_y'→=e_z'→×e_x'→
これは、座標系x'y'z'の正規直交基底となっていますので、x'y'z'の点D(X',Y'Z')は、(ちなみに、Dは円周上の点なので、Z'=0のはず)
O'D→=X'e_x'→+Y'e_y'→+Z'e_z'→
と表す事ができます。(O'はx'y'z'の原点＝点P)

e_x'→等の定義から、座標系XYZでの各成分が求まりますので、原理的には、この方法でPD→を求めて、OD→=OP→+PD→=(X4,Y4,Z4)から、点Dの座標を求める事が可能です。
やはり、計算はかなり煩雑になるかもしれませんが。

お礼

解けました！大変助かりました。ありがとうございました。