コイン投げによる座標移動による確率

質問

座標平面上で原点から出発する点Pが次の規則に従って動きます。
コインを投げて表だったら点Pは右へ１、上へ１移動。
コインを投げて裏だったら点Pは右へ１、下へ１移動。
このとき、７回投げたとき、点Pが（3,1）を通らないで(7,3)へ移動する確率は？また、７回投げたとき、ｙ座標が７回とも正となる確率を知りたいのです。
座標軸に手で何回も線を引いて数えることで求めることは出来たのですが、もっと数学的に求める方法が思いつきません。よろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

再びお邪魔します。

すみません。
１つ目の問題について、誤記を訂正します。

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【修正前】

（３，１）を通るには、
最初の３回で、Ｕが２回、Ｄが１回です。
３Ｃ２　＝　３Ｃ１　＝　３　　　・・・（さ）

（３，１）から出発して（７，３）に到達するには、
４回目から、Ｕが４つです。
４Ｃ４＝１　　　・・・（し）

よって、（３，１）を通って（７，３）に到達する確率は、
（さ）×（し）÷（あ）　＝　３×１÷１２８　＝　３／１２８　　・・・（す）

よって、
（３，１）を通らずに（７，３）へ到達する確率は、
（き）－（す）＝　１８／１２８　＝　９／６４

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【修正後】

（３，１）を通るには、
最初の３回で、Ｕが２回、Ｄが１回です。
３Ｃ２　＝　３Ｃ１　＝　３　　　・・・（さ）

（３，１）から出発して（７，３）に到達するには、
４回目から、Ｕが３つ、Ｄが１つです。
４Ｃ３　＝　４Ｃ１　＝　４　　　・・・（し）

よって、（３，１）を通って（７，３）に到達する確率は、
（さ）×（し）÷（あ）　＝　３×４÷１２８　＝　１２／１２８　　・・・（す）

よって、
（３，１）を通らずに（７，３）へ到達する確率は、
（き）－（す）＝　（２１－１２）／１２８　＝　９／１２８

お礼

わかりやすい解答ありがとうございました！！
コンビネーションの使い方を忘れておりました。
また、よろしくおねがいします。

回答No.4

tarame

ｙ座標が７回とも正である場合は、表の回数＞裏の回数のときです。
(1)裏が０回のとき　１通り
(2)裏が１回のとき　
　　表表？？？？？　5Ｃ1＝５通り
(3)裏が２回のとき
　　表表表？？？？　4Ｃ2＝６通り
　　表表裏表？？？　3Ｃ1＝３通り
(4)裏が３回のとき
　　７回目が表だと６回目は０となるから、７回目は裏
　　表表表？？？裏　3Ｃ2＝３通り
　　表表裏表？？裏　2Ｃ1＝２通り
(1)～(4)より　1＋5＋9＋5＝20通り

お礼

解答ありがとうございました。

回答No.2

nettiw

（表７回、裏０回）、(x,y)=(7,7)、7Ｃ7＝１
（表６回、裏１回）、(x,y)=(7,5)、7Ｃ7＝７
（表５回、裏２回）、(x,y)=(7,3)、7Ｃ5＝２１通り　（Ａ）
（表４回、裏３回）、(x,y)=(7,1)、7Ｃ4＝３５
（表３回、裏４回）、(x,y)=(7,-1)、7Ｃ3＝３５
（表２回、裏５回）、(x,y)=(7,-3)、7Ｃ2＝２１
（表１回、裏６回）、(x,y)=(7,-5)、7Ｃ1＝７
（表０回、裏６回）、(x,y)=(7,-7)、7Ｃ0＝１

（Ａ）の内で、

　点Pが（3,1）を通り(7,3)へ移動するのは、
（表２回、裏１回）が出たあとに（表３回、裏１回）出たときだから、
3Ｃ1・4Ｃ1＝１２通り。

　点Pが（3,1）を通らないで(7,3)へ移動するのは、
２１－１２＝９通り。
確率は、(21-12)/128=9/128 。
----
ｙ座標が７回とも正となる場合の数は、
座標上で描くと、
　　　　　　　　　　　　／　　　
　　　　　　　　　　／,,＼
　　　　　　　　／,,＼,,／
　　　　　　／,,＼,,／,,＼
　　　　／,,＼,,／,,＼,,／
　　／,,＼,,／,,＼,,／,,＼
／
パスカルの三角形のように、
分岐点の数を数えて見ると、
　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　１　　　５
　　　　　　　　１　　　４　　
　　　　　　１　　　３　　　９
　　　　１　　　２　　　５
　　１　　　１　　　２　　　５
（　）　　　
場合の数は、1+5+9+5=20　　　　　　　　　　
確率は、20/128=5/32　。

お礼

解答ありがとうございました！！理解できました。
また、よろしくおねがいします。

回答No.1

sanori

こんばんは。

上へ１移動をＵ（Up）、下へ１移動をＤ（Down）と表記することにします。

全体の場合の数は、２^7 ＝ １２８　です。　　・・・（あ）

１．
７回投げたとき、点Pが（3,1）を通らないで(7,3)へ移動する確率は？

（７，３）に到達するということは、
Ｕが５回、Ｄが２回です。
（たとえば、ＵＵＵＤＵＤＵ）
つまり、（７，３）に到達する場合の数は、
７箇所からＵの５つの場所、あるいは、７箇所からＤの２つの場所を選ぶ組合せの数です。
７Ｃ５　＝　７Ｃ２　＝　２１　　　・・・（か）
よって、（７，３）に到達する確率は、
（か）÷（あ）＝　２１／１２８　　・・・（き）

（３，１）を通るには、
最初の３回で、Ｕが２回、Ｄが１回です。
３Ｃ２　＝　３Ｃ１　＝　３　　　・・・（さ）

（３，１）から出発して（７，３）に到達するには、
４回目から、Ｕが４つです。
４Ｃ４＝１　　　・・・（し）

よって、（３，１）を通って（７，３）に到達する確率は、
（さ）×（し）÷（あ）　＝　３×１÷１２８　＝　３／１２８　　・・・（す）

よって、
（３，１）を通らずに（７，３）へ到達する確率は、
（き）－（す）＝　１８／１２８　＝　９／６４

２．
７回投げたとき、ｙ座標が７回とも正となる確率

うまいやり方があるのかもしれませんが
コインを投げる１回目、２回目、３回目・・・を列挙すれば、
（＊印はＵでもＤでもよいという意味）
Ｄ＊＊＊＊＊＊　失格　　（確率１／２）
ＵＤ＊＊＊＊＊　失格　　（確率１／２^2）
ＵＵＤＤ＊＊＊　失格　　（確率１／２^4）
ＵＵＤＵＤＤ＊　失格　　（確率１／２^6）
ＵＵＤＵＤＵ＊　合格！　確率１／２^6
ＵＵＤＵＵ＊＊　合格！　確率１／２^5
ＵＵＵＤＤＤ＊　失格　　（確率１／２^6）
ＵＵＵＤＤＵ＊　合格！　確率１／２^6
ＵＵＵＤＵ＊＊　合格！　確率１／２^5
ＵＵＵＵ＊＊＊　合格！　確率１／２^4

求める確率は
１／２^6 ＋ １／２^5 ＋ １／２^6 ＋ １／２^5 ＋ １／２^4
　＝　１／２^6 ×（１＋２＋１＋２＋４）
　＝　１／６４ × １０
　＝　５／３２