回転移動した平面の方程式

質問

右手系座標での平面 z = 0 を
方位角 φ ( y 軸正方向から見て時計回りを正とする)、
仰角 θ ( x 軸正方向から見て反時計回りを正とする)で
回転させたときの方程式はどのようになりますか。
2つの方法で方程式が一致しないので、
混乱しています。

方位角 φ の座標変換
x' = x cos φ - z sin φ
z' = x sin φ + z cos φ

仰角 θ の座標変換
y' = y cos θ + z sin θ
z' = - y sin θ + z cos θ

方位角 φ, 仰角 θ の座標変換 (←この辺りから間違っている?)
x' = x cos φ - z sin φ
y' = x sin φ sin θ + y cos θ + z cos φ sin θ
z' = x sin φ cos θ - y sin θ + z cos φ cos θ

方法1
回転後の平面は z' = 0 であるから、平面の方程式は
x sin φ cos θ - y sin θ + z cos φ cos θ = 0

方法2
平面 z = 0 の単位法線ベクトル n は (0, 0, 1) である。
座標変換の式にこれを代入すると、回転後の n は
( - sin φ, cos φ sin θ, cos φ cos θ )
であるから、n に垂直で原点を通る平面の方程式は
- x sin φ + y cos φ sin θ + z cos φ cos θ = 0

回転放物面 z = ( x^2 + y^2 ) / ( 4 f )についても
方程式を得たいので、よろしくお願い致します。

回答No.1

apollonius

>方法1
回転後の平面は z' = 0 であるから、平面の方程式は
x sin φ cos θ - y sin θ + z cos φ cos θ = 0

z'=0 とおくのではなくて、z=0と置くのが正しいです。