高校数学の問題です

質問

高校数学の問題です

座標空間に4点A(2,1,0)B(1,0,1)C(0,1,2)D(1,3,7)がある。3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点を点Eとするとき、点Eの座標を求めよ。

という問題です。
対称な点を求めたいとき、正射影ベクトルの考え方を使うことが多いので使おうとしましたが、そもそも正射影ベクトルの方向ベクトルが分からないと思ったので出来ませんでした。
Dから題意の平面に降ろした垂線の足をH(x,y,z)と置いて
DHとAB
DHとBC
DHとCA
がそれぞれ垂直(内積が0)とやっても上手く行きません(式3つ出てきますが変形することで式が2つになり三元連立方程式がyしか解けないです)

どうすればいいでしょうか？？

ご教授お願いします
が垂直

回答No.6

staratras

No.5です。誤記を訂正します。失礼しました。

誤：３点A,B,Cで作る平面に関して、点Dと対称な点Eをx-z平面上に描くと、点Eは(1)の直線に関して点Aと対称な位置になります。

正：３点A,B,Cで作る平面に関して、点Dと対称な点Eをx-z平面上に描くと、点Eは(1)の直線に関して点Dと対称な位置になります。

お礼

なるほど、平面の問題に帰着すると楽々ですね！

参考になりました！

ありがとうございました！

回答No.5

staratras

この問題に限っては、x-z平面で考えると容易に答えが求められます。
x-z平面に、３点A,B,Cを描く（投影させる)と下のグラフのように1直線上にあります。これはこの3点で作る平面がx-z平面と垂直であることを示しています。x-z平面上のこの直線の式はx+z=2 …(1)です。

３点A,B,Cで作る平面に関して、点Dと対称な点Eをx-z平面上に描くと、点Eは(1)の直線に関して点Aと対称な位置になります。直線DEの式は 点D(1,7)を通り、(1)に垂直なので、x-z=-6で、x-z平面上の点Eは(-5,1)です。

空間座標に戻って考えると、3点A,B,Cで作る平面はx-z平面と垂直なので、この平面を垂直に貫く直線DE上の点のy座標はすべて同じで、点Dが(1,3,7)だから、y=3です。

まとめると、点Eの座標は(-5,3,1)です。

回答No.4

info222_

３点A,B,Cを通る平面の式は平面上の点をP(x,y,z)とすると
BP↑=sBA↑+tBC↑ より
(x,y,z)=(1+s-t,0-s-t,1-s+t)　...(1)
これから　x+z=2 ...(2)
したがって点Dを通る平面ABCの法線DHは
(x,y,z)=(1+k,3,7+k) ...(3)
平面(2)と法線(3)の交点の座標Hは
k=-3　...(4)より、H(x,y,z)=(-2,3,4) ...(5)
DH↑=HE↑より　DE↑=2DH↑なので
(3)の法線の式で k=-3×2=-6のときの座標がEであるから
E(1-6,3,7-6)=(-5,3,1) ... (答)

お礼

直線の方程式を導入すると楽ですね！

頭からその方針が抜けておりました……

ありがとうございました！

回答No.3

noname#222520

平面の方程式を、ax+by+cz+d=0とおくと、3点A、B、Cがこの平面上にあるので、
2a+b+d=0－(1)
a+c+d=0－(2)
b+2c+d=0－(3)
(1)-(2)から、
a+b-c=0→a+b=c－(4)
(2)-(3)から、
a-b-c=0→a-b=c－(5)
(4)-(5)から、2b=0→b=0
これを(4)に代入して、
c=a
また、(1)から、
d=-2a-b=-2a
よって、平面の方程式は、
ax+az-2a=0→x+z-2=0（a=0では平面にならない。）

E(x1,y1,z1)とおくと、線分DEの中点は、
(x1/2+1/2,y1/2+3/2,z1/2+7/2)
これが平面上にあるので、
x1/2+1/2+z1/2+7/2-2=0→z1=-x1-4－(6)
これから、E(x1,y1,-x1-4)と表せる

↑DE=(x1-1,y1-3,-x1-4-7)=(x1-1,y1-3,-x1-11)
↑AB=(-1,-1,1)
↑AC=(-2,0,2)
↑AB⊥↑DEであるから、内積は0
よって、
-(x1-1)-(y1-3)+(-x1-11)=-2x1-y1=7→y1=-2x1-7－(7)
↑AC⊥↑DEであるから、内積は0
よって、
-2(x1-1)+2(-x1-11)=-4x1-20=0→x1=-5
これを(7)に代入して、
y1=3
また、(6)に代入して、
z1=1

以上から、E(-5,3,1)

お礼

そっか、平面の方程式を立てればよかったのですね……

へんな方針に固執してました……

ありがとうございました！

回答No.2

178-tall

参照 URL ですネ。

参考URL：

http://examist.jp/mathematics/space-vector/taisyouten-vector/

お礼

ありがとうございます！

とても参考になりました！

回答No.1

trytobe

△ABC の作る平面がわかるし、その任意の２辺（たとえば AB と AC）の外積がその平面に垂直なベクトルなのだから、

△ABC を含む平面の方程式とそれから求まる法線ベクトルを使うか、外積で求めた法線ベクトルを使って、H もその平面状の点であることや、DH が法線ベクトルのｎ倍であることを使えばいける。

△ABC が、各頂点が各軸上にある（それぞれ z,y,x 軸の座標が０）ので、幾何学的にやろうとすれば、直角三角形の作図の連続でできないこともない。