(1) 2点P,Qはy軸に対して反対方向にありますので、この2点の座標を P(p,p^2), Q(q,q^2) (p<0<q) とおきます。
直線Lの方程式は y=xtanθ+a と書けますので、p,q は次の2次方程式の解となっています。
x^2-xtanθ-a=0 ・・・・(A)
ここで、2次方程式の解と係数の関係から 次の式が得られます。
p+q=tanθ, pq=-a ・・・・(B)
さて、APの長さについて考えますと、
AP=√{p^2+(p^2-a)^2}
となりますが、pは式(A)の解ですから p^2=ptanθ+a が成り立ち、
AP=√{p^2+(ptanθ+a-a)^2} =√{p^2+p^2(tanθ)^2} =|p|√{1+(tanθ)^2} =|p|/|cosθ|
と変形できます。ここで、π/2<θ<π/2 ですから |cosθ|=cosθ となることを利用すれば、1/AP+1/AQ は次のように表せます。
1/AP+1/AQ =cosθ (1/|p|+1/|q|) =cosθ (|p|+|q|)/|pq| =cosθ (p-q)/pq （∵ p<0<q）
解と係数の関係（式（B)）を使って p-q を求めます。
(p-q)^2=(p+q)^2-4pq =(tanθ)^2+4a
∴p-q=-√{(tanθ)^2+4a} ・・・・・(C)
従って、式（B)（C)の関係を使えば 1/AP+1/AQ は次のように変形できます。
1/AP+1/AQ =cosθ [-√{(tanθ)^2+4a}]/(-a) =(1/a)√{(sinθ)^2+4a(cosθ)^2} =(1/a)√{1+(4a-1)(cosθ)^2}
∴1/AP+1/AQ =(1/a)√{1+(4a-1)(cosθ)^2}
(2) 1/AP+1/AQ がθによらないと言うことは cosθ の係数が0であることが必要十分ですので、
4a-1=0
∴a=1/4
となります。
