軌跡の問題です

質問

実数tが変化するとき
直線y=2tx-(t+1)^2が通りうる点(a,b)の存在範囲を求め、
これを図示せよ。以下解答です。

y=2tx-(t+1)^2
=-{t-(x-1)}^2+(x-1)^2-1
(a,b)を代入
b=-{t-(a-1)}^2+(a-1)^2-1
{t-(a-1)^2}=(a-1)^2-1-b ≧0
b≦(a-1)^2-1 ←答　これを図示

tについて整理後平方完成し、
a,b代入後、移項し左辺が二乗で正、だから右辺も正
というやろうとしていることはわかりますが。。。
どうしてこのような解答をするに至るのでしょうか。
「これだからこうやる…」という根拠がわかりません。
よろしくお願い致します。

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

ちょっとその解答はわかりにくいですね
b=-{t-(a-1)}^2+(a-1)^2-1
まではいいですね

ここで、
b＝-{t-(a-1)}^2+(a-1)^2-1のグラフを考えると
b≦(a-1)^2-1であることがわかります（頂点が（a-1、(a-1)^2-1）で下に上に凸なので）

このやり方がわからなければ
y=2tx-(t+1)^2にx=a、y=bを代入して
t^2+2(1-a)t+(b+1)＝0…(1)
になります、この式を満たすようなtが存在するには(1)の判別式が0≦Dを満たせばよく、同じ結果になります

お礼

大変わかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.2

rabbit_cat

b=-{t-(a-1)}^2+(a-1)^2-1
この式を、tについての２次方程式だと思って、実数解を持つようなtの範囲を求めればいいわけです。
なんで、この後は、tについて整理して判別式って流れが普通の回答だと思います。

質問のやり方も、つまり、
b=-{t-(a-1)}^2+(a-1)^2-1
というtについての２次方程式が実数解を持つ条件を求めているわけですが、判別式を使わずに実質的に同じことをやっています。
というか、そもそも、判別式の公式を導くときには平方完成を使ったわけなんですが、それを使っていると言えばいいか。
とにかく、やっていることは、判別式を使っているのと同じです。

お礼

大変わかりやすかったです。
ありがとうございました。