数学の宿題です

質問

不等式√x^2＋y^2≧x＋y＋a√xyが任意の正の実数x,yに対して成立するような、最大の実数aの値を求めよ(√は左辺はy^2まで、右辺はyまで)

全くわからないのでだれか教えてくださいm(__)m

回答No.4

mister_moonlight

＞丸投げなのでヒントだけ

やってる事と、言う事が矛盾してるね、君は。

＞f(x,y)はx=yの時最小になりf(x,x)={√(x^2＋x^2)-(x+x)}/√(x^2)=√2-2となり、最小値は√2-2となります。従って、最大の実数aの値は　a=√2-2

これがヒントだけ、なの？　丸回答そのものだろう。。。。。。。アホ

＞なぜ、x=y (x,yは正の実数)の時f(x,y)が最小値をとることについてはご自分でお考え下さい。

君はいつもそうだ。
肝心な説明をしない。おそらく、説明できないのだろう。
できるなら、高校数学の範囲でやってみろ。

回答No.3

info22_

宿題の丸投げなのでヒントだけ

#1さんのアドバイスのようにaの項を分離してやると良いですね。

つまり
√xy>0なので不等式を変形してx,yだけの項とaの項を分離してやると
{√(x^2＋y^2)-(x+y)}/√(xy)≧a
左辺をf(x,y)とおくとこの左辺の最小値をaとすれば良いということです。

f(x,y)はx=yの時最小になり
f(x,x)={√(x^2＋x^2)-(x+x)}/√(x^2)=√2-2
となり、最小値は√2-2となります。
従って、最大の実数aの値は　a=√2-2

なぜ、x=y (x,yは正の実数)の時f(x,y)が最小値をとることについては
ご自分でお考え下さい。

回答No.2

mister_moonlight

＞[√(x^2+y^2) - (x+y)] / √(xy) の最小値を求める.

そんなことは誰でもわかる。それをどういう方法で求めるかが問題なんだよ。それを示さなければ、回答として意味がない。

x＞0、y＞0から　y＝αxとすると、x＞0から条件の゜不等式は　√(α＾2＋1)≧(α＋1)＋a√α
a≦{√(α＾2＋1)-(α＋1)}/(√α)。
右辺＝{√(α＾2＋1)-(α＋1)}/(√α)＝√(α＾2＋1)/(√α)-(α＋1)/(√α)＝√(α＋1/α)-(√α＋1/√α)
そこで、√α＋1/√α＝βとすると　(相加平均・相乗平均から　β≧2)　右辺＝√(β＾2-2)-β＝(-2)/(β＾2-2)＋β)と変形して　最小値を求める。

続きの計算は　自分でできるだろう。
a＞0なら　簡単なんだが、以外に難しくはないが、面倒な問題。
変数が2つあり、その条件が平等な時　y＝αxと置き換えるのは常套手段、覚えておいたらよい。

回答No.1

Tacosan

[√(x^2+y^2) - (x+y)] / √(xy) の最小値を求める.