軌跡の問題

質問

問題というより計算の仕方（コツ）を教えてください。

X＝a/（a^2＋b^2）、
Y＝b/（a^2＋b^2）
（a、bはa^2＋b^2>1をみたす実数）

どうやってa、bを消しXとYだけの式にすればよいでしょうか？

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

条件：a^2＋b^2>1…(A)　は(a,b)の存在領域を示す条件です。
したがって(X,Y)の軌跡も

X＝a/（a^2＋b^2）…(B-1)
Y＝b/(a^2＋b^2）…(B-2)
から領域として求まります。

(A)またはX,Yの分母であることからa=b=0…(C)となりません。
したがって、X=Y=0にはなりません。
これから X^2+Y^2＞0　…(D)
(B-1),(B-2)から(C),(D)を考慮してa,bを求めると
a=X/(X^2+Y^2),b=Y/(X^2+Y^2)…(E)
(A)から
1/(X^2+Y^2)>1
(D)から
X^2+Y^2<1 (ただし(X,Y)≠(0,0))
これが求める軌跡（領域）です。

お礼

皆さんありがとうございました。もう少し考えてみます。

回答No.5

mister_moonlight

＞どうやってa、bを消しXとYだけの式にすればよいでしょうか？

条件が足りないから、それは出来ない。

おそらく、「反転」に引っ掛けた領域の問題だろう。

原点Ｏを中心とする半径1の円の外部に点Ｐ(a、b)がある。
この時、ＯＰ・ＯＱ＝1を満たす点Ｑ(x、y)の存在する領域を求めよ。

ＯＰ＝√(a＾2＋b＾2)、ＯＱ＝√(x＾2＋y＾2)で　ＯＰ・ＯＱ＝1　であるから、(a＾2＋b＾2)*(x＾2＋y＾2)＝1.
x＾2＋y＾2≠0で、a^2＋b^2＞1から、x＾2＋y＾2＜1で　(x、y)＝(0、0)は除く。

反転の事を知りたいなら、「反転」で検索すると沢山出てくる。

回答No.3

noname#185706

X^2 + Y^2 = 1/(a^2 + b^2)。
ここで
a^2 + b^2 > 1
なので
0 < X^2 + Y^2 < 1。

もし a と b の関係が等式で与えられておれば、パラメーターはひとつだけですから、原理的には、与式からそれを消去することによって X と Y だけの等式を作れるはずです。

回答No.2

noname#185706

＃１は間違いでした。取り消します。すみませんでした。

回答No.1

noname#185706

それは不可能です。

与式から
a X + b Y = 1、
(a^2 + b^2)(X^2 + Y^2) = 1。
これらの式は(a, b)と(X, Y)を取り替えても成り立ちます。よって、与式でそのようにした式も成り立ります。つまり、(a,b)と(X,Y)は同じ範囲を動くのです。よって、a, b に対して

>（a、bはa^2＋b^2>1をみたす実数）

という条件しか付いていない以上、X, Y に対しても
X、Y は X^2 + Y^2 > 1 をみたす実数　（１）
という制限しか付きません。あえて言えば、（１）が求める「式」です。