微分の問題

質問

再び、失礼します。

問　　3次方程式 x^3+(a-1)x^2+x-a=0 が相異なる3つの実数解をもつ為のaの範囲を求めよ。

自分で解いたときは、条件式中の -a を右辺に移項して、残った左辺のグラフをかいて、グラフを元にaの位置をずらして書こうとしたのですが・・・
どうにもこのグラフが書けません。

この解き方であっているのでしょうか？
最後まで読んでいただきありがとうございます。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

与えられた多項式をｆ（ｘ）とおくとして、ｆ（ｘ）＝０が三個の実数解を持つということは、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフがｘ軸と三点で交わるということですね。そのためには、
　（１）ｆ’（ｘ）＝０という二次方程式が実数解を二つ持つ、つまりｙ＝ｆ（ｘ）が極大値と極小値を持つ
　（２）ｙ＝ｆ（ｘ）の極大値が正の値をとる
　（３）ｙ＝ｆ（ｘ）の極小値が負の値をとる
の三つの条件が必要になるはずです。やや省略した説明なので、一般的な三次関数のグラフを紙に書いてなぜそうなるか考えてみて下さい。

お礼

書いてみて気づいたのですが、この条件じゃないとｘ軸と３点で交わりませんね・・・
勉強になりました！
ありがとうございます！！

回答No.1

rnakamra

x^2の係数にもaが含まれているのでこのとき方では難しいでしょう。
aを変化させるとグラフの形も変わってしまうので共有点の個数を評価するのは無理があると思います。

この問題の場合、少なくとも極大・極小となる点が存在しないと相異なる三つの実数解を持たないのはわかると思います。
その極大値、極小値がどのような範囲にあればよいかを考えてみればよいと思います。