解の公式の求め方。

質問

y=ax^2+bx+c
平方完成する。
y=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a
y=0,xを求めるから移項して
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
両辺に1/aを掛ける
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
２乗をはずすからルートを両辺につける
*************
この先どう考えればよいかわかりません。
左辺は±(x+b/2a)
右辺は分母が±2a、分子はルートが残る
ルートによる符号をどのように処理すれば(考えれば)いいのでしょうか？
アドバイスお願いします。

回答No.8

tomopa

No.7の補足です。
x^2=3ときx=±√3というのは、
±√x^2=±√3
±x=±√3
これは
+x=+√3　つまり　x=+√3
+x=-√3　つまり　x=-√3
-x=+√3　つまり　x=-√3
-x=-√3　つまり　x=+√3
よってx=±√3ということです。（だから右辺にだけ±）

同様に「分母が±2a」の部分も、分子の±、分母の±の組み合わせで、結局全体として分子に±をつければよい（分母の±は不要）ということです。

回答No.7

tomopa

(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2からの変形を説明します。
x+b/2a=±√{(b^2-4ac)/4a^2}
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/√(4a^2)
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2a
x=-b/2a±√(b^2-4ac)/2a
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a

x^2=3ときx=±√3となりますね。最初に両辺の平方根を取る時、左辺には±は不要です。（左辺と右辺の±の組み合わせを考えれば、+,+で+,+,-で-,-,+で-,-,-で+となり、結局+と-になるので右辺だけ±をつければよいのです）

回答No.6

hyper1234

途中からでは、少しややこしいので初めから証明をします。
（やり方も少し違いますがこちらのほうが一般的だと思います。）
[結論]
a,b,cが実数の時、2次方程式ax^2+bx+c=0(a≠0)の解の公式は
x={-b±√(b2-4ac)}/2a
である。
[証明]
ax^2+bx+c=0
ax^2+bx=-c〔∵定数項を右辺に移行する〕
4a^2x^2-4abx=-4ac〔∵両辺に4aをかける〕
4a^2x^2-4abx+b2=-4ac+b2〔∵両辺にb^2をかける〕
(2ax+b)^2=b2+4ac〔∵左辺を因数分解する〕
2ax+b=±√(b2+4ac)〔∵ ^2をはずす（x=・・・にする為）
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a 〔∵bを移項し両辺を2aで割り、最終的にx=・・・の形にする。〕
［証明終り］
（^2は2乗√(・・・)は便宜上カッコをつけているだけで実際は普通書かない）

[証明のポイント，補足]
この証明のポイントは方程式の両辺に適当な定数を加えて、左辺を完全平方形に変形して
完全平方式＝定数
という形の方程式を作ることである 。

回答No.5

guuman

±→＋としなければなりません

要注意

√α
はαが０以上の実数のときには０以上の実数「１つ」を表しますがαが負の実数または虚数ときには「２つ」の虚数を表します

前者の場合には
（－ｂ±√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ））／２／ａ
は正しいが
後者の場合には
（－ｂ±√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ））／２／ａ
は間違いで
（－ｂ＋√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ））／２／ａ
とすべきです

後者の場合は√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ）がすでに２つの虚数を表しているので－は蛇足なのです

もっとも√（４）＝±２となるような定義を√にすれば統一的に
（－ｂ＋√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ））／２／ａ
とできます

なお√－１（ｉの定義ではない）は±ｉ（２つ）であり
√－１＝ｉではありません

回答No.4

guuman

要注意

√α
はαが０以上の実数のときには０以上の実数「１つ」を表しますがαが負の実数または虚数ときには「２つ」の虚数を表します

前者の場合には
（－ｂ±√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ））／２／ａ
は正しいが
後者の場合には
（－ｂ±√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ））／２／ａ
は間違いで
（－ｂ＋√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ））／２／ａ
とすべきです

後者の場合は√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ）がすでに２つの虚数を表しているので－は蛇足なのです

もっとも√（４）＝±２となるような定義を√にすれば統一的に
（－ｂ±√（ｂ＾２－４・ａ・ｃ））／２／ａ
とできます

なお√－１（ｉの定義ではない）は±ｉ（２つ）であり
√－１＝ｉではありません

回答No.3

babubabu2

y=ax^2+bx+cで
y=0とすると、
ax^2+bx+c=0
だから
両辺に4aをかけると
　(最後に分数の処理をするため)
4a^2x^2+4abx+4ac=0
(2ax+b)^2-b^2+4ac=0
(2ax+b)^2=b^2-4ac
2ax+b=±√b^2-4ac
よって
x=-b±√b^2-4ac/2a
と導く方法もよくありますね。

回答No.2

debut

例えば、x^2=5 という方程式を解くときを考えてみると、　解は　x=±√5　となりますよね。
このように、２次方程式では左辺の２乗をはずすときには左辺には±をつけません。

２乗をはずしたあとは、
　x+b/2a=±√(b^2-4ac)/√4a^2
となり、√4a^2=2a　ですから　左辺の b/2a を移項して整理すれば解の公式ができあがります。

回答No.1

sunasearch

x^2 = 4のときは，
ｘ＝±√４＝±２でしたよね．

ですから，

x+b/2a = ±√（(b^2-4ac)/4a^2）
＝±√（(b^2-4ac) /2a

#√4a^2 = ±2aですが，分子の±とのかけ算で，
結局，±×±＝マイナスプラス＝±
となります．