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直交変換と回転は同じものなの？
座標の回転が直交変換なのは任意の回転がｘ軸の回転とｙ軸の回転とｚ軸の回転の組み合わせであることから理解できます しかしその逆が分からないのです つまり直交変換は座標の回転なのかどうかです ３次元直交座標Ａと３次元直交座標Ｂがある 空間に点Ｐがある ＰのＡによる座標を（ｘ，ｙ，ｚ）＝ａ＾Ｔとし ＰのＢによる座標を（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝ｂ＾Ｔとする そこで質問します 「Ｕ＾Ｔ・Ｕ＝Ｅかつ｜Ｕ｜＝１である３次正方実行列Ｕがあり任意のＰについてａ＝Ｕ・ｂならばＢはＡを原点を中心に回転したものである」 は正しいのですか？ 正しければどうしてなのですか？ 正しくなければどうしてなのですか？ よろしくお願いします
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- motsuan
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>Ｕ＝Ａ・Ｂ・Ｃである３つの実数α，β，γが存在する」 >は正しいのですか？ 多分正しいと思います（回転軸がｘｙｚなのでややこしいと思いますが）。 例えば 回転の中心軸を（大円上を経由して）ｚ軸にもっていき、 ｚ軸を中心とした回転を行い それを元に戻すという操作をすればいいのではないでしょうか？
- motsuan
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余談（予断）ですが nuubouさんが他の方に回答していらっしゃるのを拝見すると、 多分ご自分で御考えになったほうが早いのではないか と思ってみなさん回答されない場合が多いのではないでしょうか？ 本題(？）です。 たとえば回転の属性を以下のように （０）原点は原点に移される。 （１）長さが保たれる。 （２）直交関係が保たれる。 （３）角の向きが保たれる（軸の反転のような操作は含まれない）。 と考えてそれと条件式の関係を考えます。 （１）、（２）については U^T U = E が相当することはすぐ分かります。 （３）が |U| = 1 に相当するのですがこれは、うーん 行列式の性質からそうなんだといえなくもないと思います （行や列を入れかえると符号が逆転するという性質）。 ただ、回転を２つの軸の間の回転に分解して（オイラー角のように） 考えればわかるように、その分解したどの操作においても|U| = 1が保たれます。 というような具合に考えればいいのではないでしょうか？ ｘ，ｙ，ｚ軸方向の単位行列の変換後の関係を考えれば （０）～（３）を満たすような変換は回転しかないのではないでしょうか？
補足
「ＵをＵ＾Ｔ・Ｕ＝Ｅかつ｜Ｕ｜＝１である３次正方実行列 とし ［１ ０ ０］ ［０ ＋ｃｏｓ（α） －ｓｉｎ（α）］≡Ａ ［０ ＋ｓｉｎ（α） ＋ｃｏｓ（α）］ とし ［＋ｃｏｓ（β） ０ ＋ｓｉｎ（β）］ ［ ０ １ ０ ］≡Ｂ ［－ｓｉｎ（β） ０ ＋ｃｏｓ（β）］ とし ［＋ｃｏｓ（γ） －ｓｉｎ（γ） ０］ ［＋ｓｉｎ（γ） ＋ｃｏｓ（γ） ０］≡Ｃ ［ ０ ０ １］ としたとき Ｕ＝Ａ・Ｂ・Ｃである３つの実数α，β，γが存在する」 は正しいのですか？