直交座標系の計量が０になる理由

質問

物理数学の教科書を読んでいます．それによると，
座標系q1(x,y,z), q2(x,y,z), q3(x,y,z)の単位ベクトルe1, e2, e3が互いに直交（ei・ej=δij）であるときには
計量 gij=0　となると書いてあります．

しかし何故計量が０になるかが分かりません．
（q1, q2, q3に円柱座標系等を試して計量を計算すると確かに０になるのですが，それからヒントは得られませんでした‥）

どなたか，e1, e2, e3が直行していることと計量が０になることの関係を教えて頂ければ嬉しいです．
それを説明しているサイトの紹介でも良いので，お願いします．

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

計量の意味を基本から理解すれば，自明です。以下「~」でベクトルを示します。

ベクトルds~=(dq1，dq2，dq3)の長さdsとして，

ds^2 = Σgij dqi dqj

これが計量のそもそもの定義といえますが，一方

ds~ = dq1 e1~ + dq2 e2~ + dq3 e3~

ですから，

ds^2 = ds~・ds~ = Σdqi ei~・dqj ej~

したがって，

gij = ei~・ej~

なのです。これを計量の定義としても同じです。基底（単位ベクトル）相互が直交すれば，

gij = ei~・ej~ = δij

となることは明らかでしょう。

お礼

なるほど，とても良く分かりました．ありがとうございました．

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

q1, q2, q3 を x, y z に変換するベクトル関数を

(x, y, z) = f(q1, q2, q3)

とすると、偏微分 ∂f/∂q1, ∂f/∂q2, ∂f/∂q3 は、
いうまでもなく、q1, q2, q3 のうちひとつだけを動かした時の
x, y, z の偏微分量(ベクトル)を表しています。
つまり、q1, q2, q3の３軸を x, y, z に変換した時の
その場所の3軸の向きを表しています。

計量テンソルの定義は

gij = ∂f/∂qi・∂f/∂qj (・は内積)

ですから、i≠j でq1, q2, q3 の３軸が, x, y, z 座標系のあらゆる点で
直交しているなら、gij(i≠j) は 0 になります。

お礼

ありがとうございます．イメージが良く掴めました．助かりました．