座標変換

質問

∇^2を直行座標系から円筒座標系に変換する課題があるのですが
どうも上手くできません。
(x,y,z)→(r,φ,z)と変換すると
結果は1/r×∂/∂r(r∂/∂r)+1/r^2×∂^2/∂φ^2+∂^2/∂z^2です。
どなたかこの過程を教えてください。
お願いします。

回答No.1

brogie · ベストアンサー

途中までヒントを書いておきます。
極座標について、詳しく書かれてるHPがありましたので、それを参考にチャレンジして見て下さい。

∇^2=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2
(x,y,z)→(r,φ,z)変換すると
∇^2=1/r×∂/∂r(r∂/∂r)+1/r^2×∂^2/∂φ^2+∂^2/∂z^2
ということですね。

次のような関係があります。
x=rcosφ
y=rsinφ
z=z

これから
r^2 = x^2 + y^2

この両辺をxで微分して
r・∂r/∂x = x
∂r/∂x = x/r

x=rcosφ、y=rsinφから
tanφ = y/x
この両辺をxで微分して
1/cos^2φ・∂φ/∂x = -y/x^2
∂φ/∂x = -y/x^2・cos^2φ
　　　　=-sinφ/rcos^2φ・cos^2φ
　　　　=-sinφ/r

z = z
この両辺をxで微分して
∂z/∂x = 0（zはxに関係ないから）

∂/∂x=∂/∂r・∂r/∂x + ∂/∂φ・∂φ/∂x + ∂/∂z・∂z/∂x
　　　= ∂/∂r・x/r + ∂/∂φ・(-sinφ/r)

この両辺をxで微分していきます。

後は、つぎのURLを参考にして考えてください。
http://chiron.mtk.nao.ac.jp/~daisuke/ja/Research/Astronomy/Math/Laplacian/

参考URL：

http://chiron.mtk.nao.ac.jp/~daisuke/ja/Research/Astronomy/Math/Laplacian/

補足

∂/∂x=∂/∂r・x/r + ∂/∂φ・(-sinφ/r) =cosφ∂/∂r-sinφ/r∂/∂φ
∂/∂y=sinφ∂/∂r-cosφ/r・∂/∂φ

∂^2/∂x^2=(cosφ∂/∂r-sinφ/r∂/∂φ)(cosφ∂/∂r-sinφ/r∂/∂φ)

=cos^2φ∂^2/∂r^2-2sin^2φ/r・∂/∂r(1/r∂/∂φ)
+sinφ/r^2・∂/∂φ(sinφ∂/∂φ)

ここで
∂/∂r(1/r∂/∂φ)=-1/r^2・∂/∂φ+1/r・∂^2/∂φ^2
∂/∂φ(sinφ∂/∂φ)=cosφ∂/∂φ+sinφ・∂^2/∂φ^2
とするのでしょうか？できるのでしょうか？

また
∂^2/∂y^2=sin^2φ∂^2/∂r^2-2sinφcosφ∂/∂r(1/r・∂/∂φ)
+cosφ/r^2・∂/∂φ(cosφ∂/∂φ)

でも同様のことをするのでしょうか？

どちらにしても解が合わないのでどこか計算が間違っているのでしょうか？
1/r×∂/∂r(r∂/∂r)が出てくる気配が全くないんですよ。

回答No.2

brogie

∂/∂x = cosφ・∂/∂r - sinφ/r・∂/∂φ
∂/∂y = sinφ・∂/∂r - cosφ/r・∂/∂φ

から出発します。テクテクと計算して行って下さい。

∂^2/∂x^2 = ∂/∂r(∂/∂x)∂r/∂x + ∂/∂φ(∂/∂x)∂φ/∂x
　　　= cosφ・∂^2/∂r^2・∂r/∂x + sinφ/r^2・∂r/∂x・∂/∂φ
　　　　- sinφ/r・∂^2/∂r∂φ・∂r/∂x
　　　　- sinφ・∂φ/∂r・∂/∂r + cosφ・∂^2/∂φ∂r・∂φ/∂x
　　　　- cosφ/r・∂φ/∂x・∂/∂φ - sin^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2
　　　= cos^2φ∂^2/∂r^2 + sinφ・cosφ/r^2・∂/∂φ - sinφ/r・∂^2/∂r∂φ
　　　　+ sin^2φ/r・∂/∂r + cos^2φ/r・∂^2/∂φ∂r
　　　　- sinφ・cosφ/r^2・∂/∂φ - sin^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2

∂^2/∂y^2 = ∂/∂r(∂/∂y)∂r/∂y + ∂/∂φ(∂/∂y)∂φ/∂y
　　　= sinφ・∂^2/∂r^2・∂r/∂y + cosφ/r^2・∂r/∂y・∂/∂φ
　　　　- cosφ/r・∂^2/∂r∂φ・∂r/∂y
　　　　+ cosφ・∂φ/∂y・∂/∂y + sinφ・∂^2/∂φ∂r
　　　　- sinφ/r・∂φ/∂y・∂/∂φ - cos^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2
　　　= sin^2φ・∂^2/∂r^2 + sinφ・cosφ/r^2・∂/∂φ
　　　　 - sinφ・cosφ/r・∂^2/∂φ∂r
　　　　+ cos^2φ/r・∂/∂r + sinφ・cosφ/r・∂^2/∂φ∂r
　　　　- sinφ・cosφ/r・∂/∂φ - cos^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2

∂^2/∂z^2 = ∂^2/∂z^2

これから（殆どの項が相殺して）

∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2
　　　　= cos^2φ・∂^2/∂r^2 + sin^2φ/r・∂/∂r - sin^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2
　　　　+ sin^2φ・∂^2/∂r^2 + cos^2φ/r・∂/∂r - cos^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2
　　　　+ ∂^2/∂^2
　　　　= ∂^2/∂r^2 + 1/r・∂/∂r + 1/r^2・∂^2/∂φ^2 + ∂^2/∂^2
　　　　= 1/r×∂/∂r(r∂/∂r)+1/r^2×∂^2/∂φ^2+∂^2/∂z^2

以上です。
紙の上で計算して、注意深く書き写したつもりですが、写し間違いがあるかも知れません。そのときはご容赦して下さい。

お礼

できました～！

∂^2/∂r^2 + 1/r・∂/∂r = 1/r×∂/∂r(r∂/∂r)

がわからなかっただけでした(笑)
親切に教えてくださってありがとうございました。

PS:∂tanφ/∂y=∂tanφ/∂φ・∂φ/∂y=1/cos^2φ・∂φ/∂y=1/x
なんで
∂/∂y = sinφ・∂/∂r "+" cosφ/r・∂/∂φ
ですよね？
補足を書いたあとに気づきました。