- ベストアンサー
座標変換
∇^2を直行座標系から円筒座標系に変換する課題があるのですが どうも上手くできません。 (x,y,z)→(r,φ,z)と変換すると 結果は1/r×∂/∂r(r∂/∂r)+1/r^2×∂^2/∂φ^2+∂^2/∂z^2です。 どなたかこの過程を教えてください。 お願いします。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- brogie
- ベストアンサー率33% (131/392)
∂/∂x = cosφ・∂/∂r - sinφ/r・∂/∂φ ∂/∂y = sinφ・∂/∂r - cosφ/r・∂/∂φ から出発します。テクテクと計算して行って下さい。 ∂^2/∂x^2 = ∂/∂r(∂/∂x)∂r/∂x + ∂/∂φ(∂/∂x)∂φ/∂x = cosφ・∂^2/∂r^2・∂r/∂x + sinφ/r^2・∂r/∂x・∂/∂φ - sinφ/r・∂^2/∂r∂φ・∂r/∂x - sinφ・∂φ/∂r・∂/∂r + cosφ・∂^2/∂φ∂r・∂φ/∂x - cosφ/r・∂φ/∂x・∂/∂φ - sin^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2 = cos^2φ∂^2/∂r^2 + sinφ・cosφ/r^2・∂/∂φ - sinφ/r・∂^2/∂r∂φ + sin^2φ/r・∂/∂r + cos^2φ/r・∂^2/∂φ∂r - sinφ・cosφ/r^2・∂/∂φ - sin^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2 ∂^2/∂y^2 = ∂/∂r(∂/∂y)∂r/∂y + ∂/∂φ(∂/∂y)∂φ/∂y = sinφ・∂^2/∂r^2・∂r/∂y + cosφ/r^2・∂r/∂y・∂/∂φ - cosφ/r・∂^2/∂r∂φ・∂r/∂y + cosφ・∂φ/∂y・∂/∂y + sinφ・∂^2/∂φ∂r - sinφ/r・∂φ/∂y・∂/∂φ - cos^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2 = sin^2φ・∂^2/∂r^2 + sinφ・cosφ/r^2・∂/∂φ - sinφ・cosφ/r・∂^2/∂φ∂r + cos^2φ/r・∂/∂r + sinφ・cosφ/r・∂^2/∂φ∂r - sinφ・cosφ/r・∂/∂φ - cos^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2 ∂^2/∂z^2 = ∂^2/∂z^2 これから（殆どの項が相殺して） ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2 = cos^2φ・∂^2/∂r^2 + sin^2φ/r・∂/∂r - sin^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2 + sin^2φ・∂^2/∂r^2 + cos^2φ/r・∂/∂r - cos^2φ/r^2・∂^2/∂φ^2 + ∂^2/∂^2 = ∂^2/∂r^2 + 1/r・∂/∂r + 1/r^2・∂^2/∂φ^2 + ∂^2/∂^2 = 1/r×∂/∂r(r∂/∂r)+1/r^2×∂^2/∂φ^2+∂^2/∂z^2 以上です。 紙の上で計算して、注意深く書き写したつもりですが、写し間違いがあるかも知れません。そのときはご容赦して下さい。
お礼
できました～！ ∂^2/∂r^2 + 1/r・∂/∂r = 1/r×∂/∂r(r∂/∂r) がわからなかっただけでした(笑) 親切に教えてくださってありがとうございました。 PS:∂tanφ/∂y=∂tanφ/∂φ・∂φ/∂y=1/cos^2φ・∂φ/∂y=1/x なんで ∂/∂y = sinφ・∂/∂r "+" cosφ/r・∂/∂φ ですよね？ 補足を書いたあとに気づきました。
補足
∂/∂x=∂/∂r・x/r + ∂/∂φ・(-sinφ/r) =cosφ∂/∂r-sinφ/r∂/∂φ ∂/∂y=sinφ∂/∂r-cosφ/r・∂/∂φ ∂^2/∂x^2=(cosφ∂/∂r-sinφ/r∂/∂φ)(cosφ∂/∂r-sinφ/r∂/∂φ) =cos^2φ∂^2/∂r^2-2sin^2φ/r・∂/∂r(1/r∂/∂φ) +sinφ/r^2・∂/∂φ(sinφ∂/∂φ) ここで ∂/∂r(1/r∂/∂φ)=-1/r^2・∂/∂φ+1/r・∂^2/∂φ^2 ∂/∂φ(sinφ∂/∂φ)=cosφ∂/∂φ+sinφ・∂^2/∂φ^2 とするのでしょうか？できるのでしょうか？ また ∂^2/∂y^2=sin^2φ∂^2/∂r^2-2sinφcosφ∂/∂r(1/r・∂/∂φ) +cosφ/r^2・∂/∂φ(cosφ∂/∂φ) でも同様のことをするのでしょうか？ どちらにしても解が合わないのでどこか計算が間違っているのでしょうか？ 1/r×∂/∂r(r∂/∂r)が出てくる気配が全くないんですよ。