極座標系における∇×Aの計算

質問

直交座標系(x,y,z)を極座標系(r,θ,ψ)に変換すると
x=rsinθcosψ
y=rsinθsinψ
z=rcosθ
となりますよね。
これを用いて極座標系で∇×Ａを計算すると、
その演算結果は以下のようになるらしいのですが、
その導出過程が分かりません。最初の
1/r^2sinθはヤコビアンで補正をかけているような
気がするのですが、その他の項には1/rsinθや1/rが
出てきてこれらが何を表しているのかさっぱり？で、
やっぱり分かりません。宜しければ教えていただけないでしょうか？(第1行目の(^r),(^θ),(^ψ)はそれぞれの
方向の単位ベクトルです。)お願いいたします。

∇×Ａ＝
｜(^r)/r^2sinθ　　(^θ)/rsinθ　　(^ψ)/r　｜
｜ ∂/∂r　　∂/∂θ　　∂/∂ψ　 　　｜
｜　A_r　　　　rA_θ　　　rsinθA_ψ　　｜

回答No.3

mech32 · ベストアンサー

#1です。

▽×A
={e_r(∂/∂r)+(e_θ/r)(∂/∂θ)+(e_ψ/rsinθ)(∂/∂ψ)}×(A_re_r+A_θe_θ+A_ψe_ψ)

の計算について捕捉します。まず、

∂e_r/∂r=∂e_θ/∂r=∂e_ψ/∂r=0
∂e_r/∂θ=e_θ
∂e_θ/∂θ=-e_r
∂e_ψ/∂θ=0
∂e_r/∂ψ=e_ψsinθ
∂e_θ/∂ψ=e_ψcosθ
∂e_ψ/∂ψ=-e_θcosθ-e_rsinθ

および、

e_r×e_r=e_θ×e_θ=e_ψ×e_ψ=0
e_θ×e_ψ=e_r
e_ψ×e_r=e_θ
e_r×e_θ=e_ψ

に注意すれば、

{e_r(∂/∂r)+(e_θ/r)(∂/∂θ)+(e_ψ/rsinθ)(∂/∂ψ)}×(A_re_r+A_θe_θ+A_ψe_ψ)

=e_r×(∂/∂r)(A_re_r)
+e_r×(∂/∂r)(A_θe_θ)
+e_r×(∂/∂r)(A_ψe_ψ)
+(e_θ/r)×(∂/∂θ)(A_re_r)
+(e_θ/r)×(∂/∂θ)(A_θe_θ)
+(e_θ/r)×(∂/∂θ)(A_ψe_ψ)
+(e_ψ/rsinθ)×(∂/∂ψ)(A_re_r)
+(e_ψ/rsinθ)×(∂/∂ψ)(A_θe_θ)
+(e_ψ/rsinθ)×(∂/∂ψ)(A_ψe_ψ)

=e_r×e_r(∂A_r/∂r)
+e_r×e_θ(∂A_θ/∂r)
+e_r×e_ψ(∂A_ψ/∂r)
+(e_θ/r)×e_r(∂A_r/∂θ)
+(e_θ/r)×A_r(∂e_r/∂θ)
+(e_θ/r)×e_θ(∂A_θ/∂θ)
+(e_θ/r)×A_θ(∂e_θ/∂θ)
+(e_θ/r)×e_ψ(∂A_ψ/∂θ)
+(e_θ/r)×A_ψ(∂e_ψ/∂θ)
+(e_ψ/rsinθ)×e_r(∂A_r/∂ψ)
+(e_ψ/rsinθ)×A_r(∂e_r/∂ψ)
+(e_ψ/rsinθ)×e_θ(∂A_θ/∂ψ)
+(e_ψ/rsinθ)×A_θ(∂e_θ/∂ψ)
+(e_ψ/rsinθ)×e_ψ(∂A_ψ/∂ψ)
+(e_ψ/rsinθ)×A_ψ(∂e_ψ/∂ψ)

=e_ψ(∂A_θ/∂r)
-e_θ(∂A_ψ/∂r)
-(e_ψ/r)(∂A_r/∂θ)
-(e_θ/r)×A_θe_r
+(e_r/r)(∂A_ψ/∂θ)
+(e_θ/rsinθ)(∂A_r/∂ψ)
+(e_ψ/rsinθ)×A_re_ψsinθ
-(e_r/rsinθ)(∂A_θ/∂ψ)
+(e_ψ/rsinθ)×A_θe_ψcosθ
+(e_ψ/rsinθ)×A_ψ(-e_θcosθ-e_rsinθ)

=e_ψ(∂A_θ/∂r)
-e_θ(∂A_ψ/∂r)
-(e_ψ/r)(∂A_r/∂θ)
+(e_ψ/r)A_θ
+(e_r/r)(∂A_ψ/∂θ)
+(e_θ/rsinθ)(∂A_r/∂ψ)
-(e_r/rsinθ)(∂A_θ/∂ψ)
-(e_ψ/rsinθ)×A_ψe_θcosθ
-(e_ψ/rsinθ)×A_ψe_rsinθ

=e_ψ(∂A_θ/∂r)
-e_θ(∂A_ψ/∂r)
-(e_ψ/r)(∂A_r/∂θ)
+(e_ψ/r)A_θ
+(e_r/r)(∂A_ψ/∂θ)
+(e_θ/rsinθ)(∂A_r/∂ψ)
-(e_r/rsinθ)(∂A_θ/∂ψ)
+(e_r/rsinθ)A_ψcosθ
-(e_θ/rsinθ)A_ψsinθ

=(e_r/r^2sinθ){A_ψrcosθ+rsinθ(∂A_ψ/∂θ)-r∂A_θ/∂ψ}
+(e_θ/rsinθ){∂A_r/∂ψ-rsinθ(∂A_ψ/∂r)-A_ψsinθ}
+(e_ψ/r){r∂A_θ/∂r-(∂A_r/∂θ)+A_θ}

=(e_r/r^2sinθ){(∂/∂θ)(rsinθA_ψ)}
-(e_r/r^2sinθ){(∂/∂ψ)(rA_θ)}
+(e_θ/rsinθ){(∂/∂ψ)A_r}
-(e_θ/rsinθ){∂/∂r)(A_ψrsinθ)}
+(e_ψ/r){(∂/∂r)(rA_θ)}
-(e_ψ/r){(∂/∂θ)A_r}

となって、公式に一致します。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございませんでした。
丁寧なご回答ありがとうございます。

回答No.2

endlessriver

大丈夫。あなたの式はあっています。
導出はベクトル解析の本で。

回答No.1

mech32

▽×Aの計算を行列式で行うことができるのは、一般に、直交座標の場合だけです。そこで、球座標の場合は、成分表示ではなく、各ベクトルの意味にまで遡って計算する必要があります。具体的には次のような計算をします。ただし、e_r、e_θ、e_ψをそれぞれ、半径方向、天頂角方向、方位角方向の単位ベクトル、A_r、A_θ、A_ψをそれぞれ、Aの半径方向、天頂角方向、方位角方向の成分とします。

▽×A
={e_r(∂/∂r)+(e_θ/r)(∂/∂θ)+(e_ψ/rsinθ)(∂/∂ψ)}×(A_re_r+A_θe_θ+A_ψe_ψ)

この計算を丁寧に行うと、正解に一致するはずです。ちょっと時間がないので、計算の課程は省かせて下さい。