2変数テイラー展開が分かりません。

質問

見ていただきありがとうございます。

問題はこちらです。
次の関数f（x，y）のx=0、y=0におけるテイラー展開を3次の項まで求めよ。

f（x，y）=1/ルート（4ーx^2ーy^2）

解き方、解答ともに分かりません。

もし分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

以下の参考URLに定義式と解き方の例がありますので、よく読んでやってみて下さい。
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_3.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/100ksk.html
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2005.calculus-II/html.dir/node35.html
ただ、ひたすら、3階までの偏導関数を求めてx=y=0を代入し、定義式に代入するだけです。

やってみて分からなければ、やった途中計算を書いたうえで、行き詰ってわらない箇所の質問して下さい。

回答No.1

Mr_Holland

f(x,y)の3階までの偏微分をとって、ｘ＝ｙ＝0のときの値を求めてください。
　そうすると、次のようにテイラー展開できます。

　f(x,y)
＝f(0,0) + { x fx(0,0) + y fy(0,0) } + 1/2 { x^2 fxx(0,0) + 2xy fxy(0,0) + y^2 fyy(0,0) } + 1/6 { x^3 fxxx(0,0) + 3x^2y fxxy(0,0) + 3xy^2 fxyy(0,0) + fyyy(0,0) } + ・・・
＝1/2 + 0 + 1/2 (x^2/8 + y^2/8) + 0 + ・・・
＝1/2 + x^2/16 + y^2/16 + ・・・

　ちなみに、f(x,y)の3階までの偏微分は、ｘ、ｙの対称性を考えると半分ほどですみます。
　それに、ｘ＝ｙ＝０　ではほとんどが０になってしまいます。