テーラー展開の意味

質問

テーラー展開を使えば、三角関数や円周率が整級数で近似できるというのは知っています。

しかし、テーラー展開の図形的意味つまり、テーラー展開では関数のグラフにおいて何を表しているのかよくわかりません。それと、高次の導関数を使えばなぜ近似の精度が向上するのかよくわかりません。

大学の図書館でいろいろ本を見たのですが、すっきりとした答えが見つかりませんでした。

回答をよろしくお願いします。

回答No.4

hugen · ベストアンサー

(0)
連続　⇒　lim[x→a]f(x)＝f(a)　⇒　f(x)≒f(a)　---定数で近似
(1)
f '(a) がある　　⇒　f(x)≒f(a)＋f '(a)(x-a) ---接線で近似
グラフから、後者のほうがよい近似であることが分かる。
(2)
次に、f '(x) のグラフを考える。
f '(a)＞0 、 f ' は　増加で　下に　凸　とする。
x＝a で　　f '' の接線　　y＝f '(a)＋f ''(a)(x-a)　　を引く。
f(x)-f(a)＝∫[a,x]f '(t)dt＝[f '(x) の　a から x までの面積 ]
f '(a)(x-a)＝[縦f '(a) 横 (x-a) の長方形の面積]
よって
[f '(x) の　a から x までの面積]≒[縦f '(a) 横 (x-a) の長方形の面積]
と、近似すれば
f(x)-f(a)≒f '(a)(x-a)
　　⇒　f(x)≒f(a)＋f '(a)(x-a)
さらに
[f '(x) のa からx までの面積]
≒[縦f '(a) 横 (x-a) の長方形の面積]＋[底辺(x-a) 高さ f ''(a)(x-a)の三角形]
としたほうが,近似は良くなって
f(x)-f(a)≒f '(a)(x-a)＋(1/2)f ''(a)(x-a)^2
　　⇒　f(x)≒f(a)＋f '(a)(x-a)＋(1/2)f ''(a)(x-a)^2

お礼

回答ありがとうございます。

わかりやすい説明です。
積分的な考え方は思いつきませんでした。

スッキリしました。

回答No.5

tinantum

テーラー展開の図形的意味に関してですが，
長沼伸一郎著の
「物理数学の直感的方法」
http://www.amazon.co.jp/%E7%89%A9%E7%90%86%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95-%E9%95%B7%E6%B2%BC-%E4%BC%B8%E4%B8%80%E9%83%8E/dp/4924460893
を見てみると面白い説明が載ってますよ．

専門家には少し異端の本と見られていることが多いですが，私は学生時代に結構好きな本の一つでした．

お礼

本の紹介ありがとうございます。
機会があれば、読んでみようと思います。

回答No.3

fuuraibou0

関数 f(x) を次のような級数で表すことを Ｔａｙｌｏｒ展開 と云います。

f(x)＝f(a)*(ｘ－ａ)^0/０!＋f'(a)*(x-a)^1/１!＋f"(a)*(x-a)^2/２!＋・・＋f^n(a)*(x-a)^n/ｎ!＋・・

また、上式で ａ＝０ と置き、f(x) を次のような級数で表すことを Ｍａｃｌａｕｒｉｎ展開 と云います。

f(x)＝f(0)*ｘ^0/０!＋f'(0)*x^1/１!＋f"(0)*x^2/２!＋・・＋f^n(0)*x^n/ｎ!＋・・
・　∞
＝Σf^n(0)*ｘ^n/ｎ!　・・　なお、f^n(0) は、ｎ回微分で、０ !＝１ です。
　n=0

よって、f(x)＝sinｘ　は、f^n(x)＝sin(x+nπ/2)、f^n(0)＝sin(nπ/2)　ですから、

f^(2n)(0)＝sin(nπ)＝０、　f^(2n+1)(0)＝sin(n+1/2)π＝cos(nπ)＝(-1)^n、
したがって、

sinｘ＝ｘ/１!－ｘ^3/３!＋ｘ^5/５!－・・・＋(－１)^n*ｘ^(2n+1)/(２ｎ＋１)!＋・・・　　（|ｘ|＜∞）になり、たとえば、ｘ＝π/２　のとき、

第１項までなら、sin(π/2)＝(π/2)/１!＝１.５７ で、１にほど遠いけど、

第２項までなら、sin(π/2)＝(π/2)/１!－(π/2)^3/３!＝１.５７－０.６４＝０.９３　で、少し１に近くなり、

第３項までなら、sin(π/2)＝(π/2)/１!－(π/2)^3/３!＋(π/2)^5/５!
＝１.５７－０.６４＋０.０８＝１.０１ でほとんど １ になります。

お礼

具体的な計算ありがとうございます。
自分としては、一般的な話をしてもらいたかったのですが・・・

回答No.2

noname#44733

そんなに難しく考えなくていいと思いますよ。
テーラー展開の多項式関数への近似は、その基準点でそのグラフと同じ高次微分係数たち（？）をもつ多項式関数のグラフへの近似に他ならないのです。ですから次数を上げればより高次の多項式関数のグラフに近似するわけですから精度が上がると理解すればよいのではないでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。

関数f(X)が
f(X)≒A0+A1*(X-a)+A2*(X-a)^2+A3*(X-a)^3+…+AN*(X-a)^n
と多項式に近似できるとしたら、Ai(i=0,1,2,3,…,N)はi次導関数でX=aとしたものであるということは、独力で示せます。

Aiの規則性から、テーラー展開がなんとなく導き出せ、テーラーの定理の式がなんとなく導き出せると理解したほうがいいのでしょうか？

補足

この回答のお礼で間違えたことを書きました。訂正します。
（誤）Ai(i=0,1,2,3,…,N)はi次導関数でX=aとしたものであるということ
（正）Ai(i=0,1,2,3,…,N)は(i次導関数でX=aとしたもの)/i!であるということ

回答No.1

koko_u_

>テーラー展開の図形的意味つまり、
>テーラー展開では関数のグラフにおいて何を表しているのかよくわかりません。
わしもよくわからんけど、微分係数というのは、その点の「近く」の振舞いですね。

傾きとか傾きの変化率とか、傾きの変化率の変化率とか、高階の微分を考えるということは、「近く」の振舞いをどんどん詳しく調べるということを意味するのでしょう。

結局、Taylor 展開の意味するところは、無限回微分可能な関数は、各点の近くの情報を十分詳しく知れば、遠くの情報もわかってしまうと。

逆に考えると、そのような「都合の良い」関数は少なくて、だいたい多項式と同じくらいしかないということ。

数学に「なぜ」を問うのは難しいです。Taylor展開という定理をもって初めて、上記のように各点の近くの振舞いから遠くの振舞いが知れるとわかるのでしょう。

最初に理由があったわけではなくて、誰か(Taylorさん？)が「きっと各点の微分係数を十分詳しく知れば、遠くの値を近似できるのでは」と思って研究を進めたということでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

f(x)を多項式で近似しよう
→係数はテーラー展開の式のようになる？
→テーラーの定理（平均値の定理の拡張）
→n→∞のとき　剰余項→０となるf(x)はある？
→テーラー展開で近似できるものがある

という風な流れで理解したらいいのでしょうか？