ベクトルのテイラー展開について

質問

r↑(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))を点(x,y,f(x,y))まわりでテイラー展開すると どのような式になりますか？
写真のようになりますか？

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回答No.2

phistoric · ベストアンサー

r↑(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))を点(x,y,f(x,y))まわりでテイラー展開すると、以下のようになります。

r(x,y,f(x,y)) + ∂r/∂xdx + ∂r/∂ydy + (∂r/∂xdx + ∂r/∂ydy)*f(x,y) + O(dx^2,dy^2)

ただし、O(dx^2,dy^2)はdx^2とdy^2の高次の微小量による誤差を表します。

回答が下手で申し訳ありませんが、少しでも参考になれば幸いです🙏

回答No.1

abiwirang

与えられた関数 $r(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))$ を点 $(x,y,f(x,y))$ の周りでテイラー展開すると、以下のようになります。

$r(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy)) \approx r(x,y,f(x,y)) + \frac{\partial r}{\partial x}(x,y,f(x,y))dx + \frac{\partial r}{\partial y}(x,y,f(x,y))dy + \frac{\partial r}{\partial f}(x,y,f(x,y))df$

ここで、$df$ は $f(x+dx,y+dy) - f(x,y)$ です。

上記の式は、点 $(x,y,f(x,y))$ での $r$ のテイラー展開になります。したがって、$r(x,y,f(x,y))$ の周りでのテイラー展開を求めるためには、上記の式を次のように簡略化できます。

$r(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy)) \approx r(x,y,f(x,y)) + \frac{\partial r}{\partial x}(x,y,f(x,y))dx + \frac{\partial r}{\partial y}(x,y,f(x,y))dy + \frac{\partial r}{\partial f}(x,y,f(x,y))(f(x+dx,y+dy) - f(x,y))$