2変数関数のテイラーの定理の問題について
どうにか2変数関数のテイラーの定理の問題まで解き進めることができました。
ここまでこれたのも、こちらでご指導くださった皆様のおかげと大変感謝しております。まだまだ勉強不足ですが、引き続きご鞭撻のほど、よろしくお願いしまします。
2変数関数のテイラーの定理の問題を解いてみたのですが、
これであっているのか、ご指導いただければと思います。
特に(5)が自信ないです。
【問題】
次の2変数関数に、n=2の場合の「マクローリンの定理」を適用せよ。
※2変数関数のマクローリンの定理
f(x,y)=f(0,0)
+(1/1!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)} f(0,0)
+(1/2!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(2) f(0,0)
+…
+(1/(n-1)!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n-1) f(0,0)
+(1/n!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n) f(θx,θy)
(0<θ<1)
※2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合)
f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y}
+(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)}
(1) x+y
f(x,y)=x+y
f(0,0)=0
fx(x,y)=1
fx(0,0)=1
fy(x,y)=1
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=0
fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=0
fxy(0,0)=0
fyy(x,y)=0
fyy(0,0)=0
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0
(2) x^2+y^2
f(x,y)=x^2+y^2
f(0,0)=0
fx(x,y)=2x
fx(0,0)=0
fy(x,y)=2y
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=2
fxx(θx,θy)=2
fxy(x,y)=0
fxy(θx,θy)=0
fyy(x,y)=2
fyy(θx,θy)=2
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2)
=(1/2)(2x^2+2y^2)
=x^2+y^2
(3) x^2+2xy+y^2
f(x,y)=x^2+2xy+y^2
f(0,0)=0
fx(x,y)=2x+2y
fx(0,0)=0
fy(x,y)=2x+2y
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=2
fxx(θx,θy)=2
fxy(x,y)=2
fxy(θx,θy)=2
fyy(x,y)=2
fyy(θx,θy)=2
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2)
=(1/2)(2x^2+4xy+2y^2)
=x^2+2xy+y^2
=(x+y)^2
(4) x^3+y^3
f(x,y)=x^3+y^3
f(0,0)=0
fx(x,y)=3x^2
fx(0,0)=0
fy(x,y)=3y^2
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=6x
fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=0
fxy(0,0)=0
fyy(x,y)=6y
fyy(0,0)=0
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用する。
ただし、3次式のため、fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)までの計算とする。
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0
(5) e^(x)・sin(y)
f(x,y)=e^(x)・sin(y)
f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
fx(x,y)=e^(x)・sin(y)
fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
fy(x,y)=e^(x)・cos(y)
fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1
fxx(x,y)=e^(x)・sin(y)
fxx(θx,θy)=e^(θx)・sin(θy)
fxy(x,y)=e^(x)・cos(y)
fxy(θx,θy)=e^(θx)・cos(θy)
fyy(x,y)=e^(x)・(-sin(y))=-e^(x)・sin(y)
fyy(θx,θy)=-e^(θx)・sin(θy)
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+1y)
+(1/2)(e^(θx)・sin(θy)・x^2+2・e^(θx)・cos(θy)・xy-e^(θx)・sin(θy)y^2)
=y+(1/2)e^(θx)(sin(θy)・x^2+2cos(θy)・xy-sin(θy)y^2)
=y+(1/2)θ・e^(θx)(sin(y)x^2+2cos(y)xy-sin(y)y^2)
=y+(1/2)θ・e^(θx)((x^2-y^2)sin(y)x^2+2cos(y)xy)
以上、よろしくお願いしたします。
お礼
詳しい解説ありがとうございました。 5～6問似た問題解いてみようと思います。