テイラー展開と偏微分について

質問

テイラー展開について思ったのですが、
例えば　yに依存する関数
f(y)があるとして
y=x+aだとします。
そして、aに対してこの関数fをテイラー展開すると

f(y)=f(x)+[df/da]a=0 * a+...
となりますよね？
ですがこの

df/daはdf/dy*dy/daとも書けますので

[df/da]a=0は[df/dy*dy/da]a=0

とも書けるはずです。

この時

df/dy=df/dxとしてもいいのでしょうか？

と言うのも　[df/dy]a=0はy=x+aのため、[y]a=0 =[x+a]=x
なので、勿論直接的な証明にはなってないのですが、
[df/dy]a=0 =　df/dxに出来そうな気がするのですが、これは間違いなのでしょうか？

もう一度要点をまとめると、

[df/dy*dy/da]a=0
を求める時、

fをyで微分する”前”にaを0にして
[df/dy]a=0 をdf/dxとしてもいいのか？

つまり、
[df/dy*dy/da]a=0
＝[df/dy]a=0*[dy/da]a=0
＝df/dx*[dy/da]a=0

とするのは間違っているのか？

となたか分かる方よろしくお願いします。

回答No.1

jkallnight · ベストアンサー

>f(y)=f(x)+[df/da]a=0 * a+...
>となりますよね？

そうなりますか？
f(y)をaのまわりで展開すると
f(y)=f(x+a)=f(a)+{df(x)/dx}(x=a)*(x-a)/1!+{d2f(x)/dx2}(x=a)*(x-a)^2/2!+・・・
となると思いますが？

注)
{df(x)/dx}(x=a)はf(x)を１回xで微分した後の関数にaを代入
{d2f(x)/dx2}(x=a)はf(x)を2回xで微分した後の関数にaを代入

お礼

回答ありがとうございます。

ご指摘ありがとうございます。確かにその通りですね。。。