大学の微分方程式の問題です

質問

講師がテスト対策に過去問を渡してくれたのですがわからない問題があり、解けないのでわかるかたがいらっしゃれば教えてください。
問題は以下の微分方程式の特殊解をもとめよとのことなのですが、途中で虚数などがでてきて詰まってしまいました。計算間違いなのかもしれませんがよろしくお願いします。
１． y'''-3y''+4y'-2y=(63/25)e^5t

２． y'''-2y''-y'+2y=(18t+24)e^2t

回答No.3

jaspachate · ベストアンサー

D ≡ d/dx なる微分演算子とする。
１．
L(D) ≡ D^3 - 3D^2 + 4D - 2
とおくと、
L(D)[y] = (63/25)e^(5t)
今、
L(D)[e^(5t)] = ( 5^3 - 3・5^2 + 4・5 - 2 ) e^(5t) = 68e^(5t)
従って、
L(D)[ y - (63/(25・68))e^(5t) ] = 0
すなわち、
y = (63/1700)e^(5t)
は特殊解である。

２．
L(D) = D^3 - 2D^2 - D + 2 = (D+1)(D-1)(D-2)
今、
e^(-2t)L(D)[y] = L(D+2)[e^(-2t)y]
L(D+2) = (D+3)(D+1)D
が成り立つことは、右辺を展開すればわかる。
従って、
L(D+2)[e^(-2t)y] = 6(3t+4)
ゆえに、
e^(-2t)y = L^(-1)(D+2)[6(3t+4)]
= D^(-1)(D+1)^(-1)(D+3)^(-1)[6(3t+4)]
ここで、
(D+1)^(-1) = 1 - D + D^2 - ...
(D+3)^(-1) = (1/3)( 1 - D/3 + (D/3)^2 - ... )
ゆえに、
e^(-2t)y = (1/3)D^(-1)(1-(4/3)D+...)[6(3t+4)]
= (1/3)D^(-1)( 6(3t+4)-(4/3)18 )
= (1/3)∫18t dt
= 3t^2
従って、
y = 3t^2e^(2t)
は特殊解である。
これをもとの微分方程式に代入すれば簡単に確かめられる。

他の方法としては、
y = ze^(2t)　
を微分方程式に代入して整理すると
az'''+bz''+cz'+dz = 6(3t+4)
の形になるので、左辺で0でないもっとも次数の高い項を pt+q とおいて係数を比較してp、qを定める。例えば、d≠0なら z を、d=0なら z'を　pt+q とする。

一般的には同次方程式、
(D+1)(D-1)(D-2)y = 0
の一般解、
y = c1e^(-t) + c2e^t + c3e^(2t)
の係数 c1、c2、c3 を t の関数とみる定数変化の法で求められる。
それは教科書を参照してください。

お礼

非常に丁寧な解説ありがとうございます。大変参考になりました！
テスト対策に活用させていただきます！

回答No.2

arrysthmia

特殊解を求めるためには、初期条件などの、
一般解から特殊解を絞り込む条件が必要です。
方程式だけでは、何とも…

回答No.1

owata-www

解いたなら、解答を載せてください。このままでは丸投げと同じですし…

補足

1.の問題はy=e^λtを代入し
(λ-1)(λ^2-2λ+2)=0までだし、特殊解の出し方がわかりません。
２．の問題は１．同様にy=e^λtを代入し解いたところ
y=ce^-t +c'e^t +c''e2tまでやり特殊解の出し方がわかりません。