微分方程式の問題

質問

dy/dx=2xy+x^3y^2　解：1/y=1/2(1-x^2)+Ce^(-x^2)
の問題なのですが、

ベルヌーイの方程式のやり方で解いていった後、
du/dx=-2xu-x^3　　[u=1/y du/dx=-1/y^2(dy/dx)]

になり、線形微分方程式で解いていくと、
u=e^(-∫2xdx)(∫e^(∫2xdx)(-x^3)+c)

となり、∫e^(∫2xdx)(-x^3)を部分積分の形で計算していくと、
解と異なる答えがでてきてしまいます。
どこが間違っているのでしょうか。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。
　お礼をありがとうございます。

＞∫exp^(∫2xdx)(-x^3)dxの部分積分のところを、
＞（-x^3）とexp^(x^2)の部分積分としてずっと考えてました。

　部分積分にはコツがあります。
　exp(x^2)を微分すると2x・exp(x^2)と係数にxが出てきますので、部分積分ではexp(x^2)単独ではなく、x・exp(x^2)にすると積分が楽になります。
　この問題の場合では、残りの被積分関数もたまたまx・exp(x^2)とexp(x^2)を微分したものの定数倍になることが分かるので、うまく部分積分を完結することができます。
　したがって、部分積分で関数を分けるときは、難しそうな関数が何かの微分の形になるようにすることがポイントだと思います。

お礼

納得しました。
難しそうな関数のときは、何かの微分の形になるようにするのですね！
盲点でした。
今度からそうしてみます。

回答No.2

Mr_Holland

私も解いてみましたが、積分定数がたくさん出てくるので、その過程でどこかにミスがあったのかもしれませんね。
　計算の過程を書いていきますので、チェック用に使ってください。
　なお、Cnはすべて積分定数とします。

　　∫e^(∫2xdx)(-x^3)dx
　＝-∫x^3 exp(x^2+C1)dx
　＝-C2∫x^3 exp(x^2)dx
　＝-(C2/2)x^2・exp(x^2)＋C2∫x・exp(x^2)　　←x^2とx・exp(x^2)とで部分積分
　＝-(C2/2)x^2・exp(x^2)＋(C2/2)exp(x^2)＋C3
　＝(C2/2)exp(x^2)・(1-x^2)+C3

　したがって、uは次のようになります。
　　u＝exp(-∫2xdx)・(∫e^(∫2xdx)(-x^3)dx+c)
　　　＝C4・exp(-x^2)・{(C2/2)exp(x^2)・(1-x^2)+C3}
　　　＝(C5/2)(1-x^2)+C6・exp(-x^2)　　・・・・・(A)

　後は、これを元の方程式
　　du/dx=-2xu-x^3　　・・・・・・・・☆
に代入して積分定数を決めていきます。
　式(A)からdu/dxは
　　du/dx＝-C5・x-2・C6・x・exp(-x^2)　　・・・・・・（B)
となるので、式（A)と（B)を式☆に代入すると、
　　-C5・x-2・C6・x・exp(-x^2)＝-2x{(C5/2)(1-x^2)+C6・exp(-x^2)}-x^3
　　　　　　　　　　　　　＝-C5・x+(C5-1)x^3-2・C6・exp(-x^2)
となるので、両辺を比べると、この等式が成り立つのは、
　　C6＝1
のときのみであることが分かります。
　そして、整理のためC5=Cと置き換えると、式（A)は次のように書き換えられます。
　　u＝(1/2)(1-x^2)+C・exp(-x^2)

お礼

∫exp^(∫2xdx)(-x^3)dx
の部分積分のところを、
（-x^3）とexp^(x^2)の部分積分としてずっと考えてました。
微分方程式以前の問題だったようです。
こういったことに「気づく」ことがなかなかできません。
微分積分からやりなおしたほうがいいのでしょうか・・・。
丁寧な解説本当に助かってます。
これからもよろしくお願いします。
ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

>となり、∫e^(∫2xdx)(-x^3)を部分積分の形で計算していくと、
>解と異なる答えがでてきてしまいます。
この部分で、計算ミスでもしたのでは？
どうやって計算したのか分かりませんが、t=x^2とかで置換した方分かりやすいかなぁ。

>u=e^(-∫2xdx)(∫e^(∫2xdx)(-x^3)+c)
を計算していったら、確かに
>1/y=1/2(1-x^2)+Ce^(-x^2)
になりましたよ。

お礼

部分積分の仕方が間違っていたようです。
計算ミスではありませんでしたが、基礎の積分がなってませんでした。
回答ありがとうございました。