微分方程式の問題です

質問

微分方程式の問題です
dy/dx=(ax+y)/(x-ay)

解いていると途中で虚数単位がでてきたので
多分間違ったのだと思います。
詳しい解答お願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

y/x=uとおく

y=xu

dy/dx=u+x(du/dx)=(a+u)/(1-au)

整理して

(1-au)x(du/dx)=a(1+u^2)

変数分離して

(1/a)(1-au)/(1+u^2)du=dx/x

両辺を積分する。

∫dx/(i+x^2)=arctanx

∫xdx/(1+x^2)=(log(1+x^2))/2

をもちいて

logx=arctanu/a-log(1+u^2)/2+c

u=y/xを代入して

log√(1+y^2)=c-(1/a)arctan(y/x)

多分、yの陽な形(y=f(x))にはならないでしょう。

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

alice_44

間違っていないかもしれませんよ。
貴方の計算を、補足に書いてみてはどうですか？

同次形微分方程式だから、型どおり u = y/x で置換すれば
変数分離形ですが、このとき
「u の有理式の積分 = x の有理式の積分」という形になります。
有理式の積分も、型どおりに処理すればいいのですが、
被積分関数の分母に虚数根があると、部分分数分解したとき
係数に虚数が現われます。これは、普通の現象です。

虚数が出てくるのを避けるには、実係数の範囲で部分分数分解して
分母に二次因数を残せばよいのです。
この問題の場合、{((1/a)-u)/(1+u^2)}du = (1/x)dx ですから、
左辺の分母を 1+u^2 = (u+i)(u-i) と分解はせず、
((1/a)-u)/(1+u^2) = (1/a){1/(1+u^2)} - (1/2){2u/(1+u^2)}
と分解して、積分すればよい。
∫{1/(1+u^2)}du = tan^(-1) u は、知っていますね？

もっとも、虚係数で部分分数分解して積分してしまっても、
オイラーの等式 e^(ix) = (cos x) + i(sin x) を駆使して
最後に係数から虚数を消すことだってできるのですが。