不等式の証明

質問

x＞sinx＞x-x^3/6　について不等式を証明する問題ですが、
高校で習った不等式の証明では、差をとって因数分解や通分をしましたよね。
三角関数が入ってきた場合にはどうやるんでしょうか？教えてください。

回答No.3

siegmund

rei00 さん，お久しぶりです．

おそらく，問題の意図は
すべての x>0 に対して x＞sin x＞x-x^3/6 を示せ，
ということでしょう．

sin x のマクローリン展開が
(1)　　sin x = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - ...
であることと関連した問題でしょう．

こういう話はやっぱり微分ですね．
(2)　　f(x) = x - sin x
(3)　　g(x) = sin x - {x - x^3/6}
とおいて，増減を調べればいいでしょう．

rei00 さんご指摘のように，x=0 では３辺ともゼロです．
したがって
(4)　　f(0) = g(0) = 0
あとは，f(x)，g(x) が増加関数であることがいえればＯＫです．

(5)　　f'(x) = 1 - cos x ≧0
ですから，大体ＯＫですが，x=0 からの出だしの瞬間は f'(0) = 0 ですから，
多少神経を使わないといけません．
(1)と比べてみると，x がゼロより少し大きいとき
(6)　　f(x) = (x^3/3!) + (x^5 以上の補正項)
ですから，出だしでも x がちょっとでもゼロより大きくなれば
f(x)>0 がわかります．
あとは(5)が常に成り立っていますから，x>0 である限り f(x)>0 が言えました．

g(x) の方も同様の方針でできます．
(7)　　g'(x) = cos x - 1 + (x^2/2)
g'(0)=0 ですから，g'(x)>0 かどうか見るには
(8)　　g''(x) = - sin x + x
を調べればよいのですが，
「ありゃ，g''(x) = f(x) だ」というわけで，
f(x) > 0　⇒　g''(x) > 0　⇒　g'(x) >0　⇒　g(x) > 0
が順次言えます．

回答No.2

rei00

> x＞sinx＞x-x^3/6　について不等式を証明する問題ですが、

　本当に証明問題ですか？
　不等式を満たすｘの範囲を求める問題では？

　x = 0 とすると，sinx = sin0 = 0, x-x^3/6 = 0 となって『x＞sinx＞x-x^3/6』を満たしませんが・・・。

　補足下さい。

補足

ごめんなさい！　xの範囲はπ/2>x>0でした。

回答No.1

postpapa

sinXの範囲を考えて下さい。
答えはすぐ出ると思いますが。
自分で解かないと身につきませんよ（笑）