不等式の証明、確認

質問

不等式の証明について、アドバイスください。

１）なんでも二乗すれば、０かプラスになることがわかりました。
ｘ~２＞＝０

ｘ~２＋ｙ~２＞＝０、と言えますよね？
これはｘ~２＞＝０であり、ｙ~２＞＝０であり、プラス＋プラスはプラスに
なるからで考えあっているでしょうか？

２）よくｘ~２ーｘｙ＞＝ー３ｙ~２を証明するときに、
ｘ~２ーｘｙ＋３ｙと移行して、
因数分解の形にしますよね？
（ｘ~２＋１／２ｙ）~２ー（１／２ｙ）~２＋３ｙ~２

すべて２乗してプラスにすればプラスであることが証明されますよね？
そのために因数分解の形にしているのですか？
でも、３ｙ~２だけは２乗の形ではないので、どうなんでしょう？

（３）（ｘ~２＋１／２ｙ）~２ー（１／２ｙ）~２＋３ｙ~２＞＝０
展開を省略して、
∴ｘ~２ーｘｙ＞＝ー３ｙ~２である。

と、展開を省略してもいいものでしょうか？

よろしくお願いします

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

質問者さんはまだつかみきれてない点があるようなので，補足です．
x,yが実数のとき，例えば
　x^2≧0，y^2≧0，(2x-y)^2≧0
などはすべていえて，さらに
　x^2 + y^2≧0, x^2 +3y^2≧0，6x^2+5(2x-y)^2≧0
などももちろんいえます．(すべて0以上の項の和なので)

すると　y^2≧0　より　(正の係数をつけても良いので[係数は２乗でなくて良い])
11y^2/4＝(11/4)*y^2≧0
です．

お礼

早速の回答ありがとうございます。
単純なことでしたね。数学音痴の私はこんなところでひっかかったりして
なかなか進みません。おかげさまで進むことができます。

また質問することがあると思いますのでよろしくお願いします。

回答No.6

nubou

大きい小さい等しいの定義をはっきりさせれば疑問は解けると思います
実数とはこういうものとするという規則の中には

順序の公理：
任意の実数ａ，ｂに対して
ａ＜ｂまたはａ＝ｂまたはｂ＜ａのいずれか１つが成立し
以下の（１），（２），（３）を満たす
（１）実数ａ，ｂ，ｃがａ＜ｂかつｂ＜ｃならばａ＜ｃ
（２）実数ａ，ｂがａ＜ｂならば任意の実数ｃに対してａ＋ｃ＜ｂ＋ｃ
（３）実数ａ，ｂがａ＜ｂならば任意の正数ｃに対してａ・ｃ＜ｂ・ｃ

これらの関係を駆使すれば不等式を導くことができるはずです

回答No.5

nubou

大きい小さい等しいの定義をはっきりさせれば疑問は解けると思います
実数とはこういうものとするという規則の中には

順序の公理
任意の実数ａ，ｂに対して
ａ＜ｂまたはａ＝ｂまたはｂ＜ａのいずれか１つが成立し
以下の（１），（２），（３）を満たす
（１）実数ａ，ｂ，ｃがａ＜ｂかつｂ＜ｃならばａ＜ｃ
（２）実数ａ，ｂがａ＜ｂならば任意の実数ｃに対して
（３）実数ａ，ｂがａ＜ｂならば任意の正数に対してａ・ｃ＜ｂ・ｃ

これらの関係を駆使すれば不等式を導くことができるはずです

回答No.4

Mell-Lily

x^2+y^2≧0
は、明らかなことです。理屈を持ち出す必要はありません。何か、勘違いをしているようです。2乗の形にしなければ、0以上であることが言えないということはありません。
　11/4≧0
は、当たり前です。
　11/4=(√11/2)^2≧0
とすることもできますが、これは、”余計なこと”です。

回答No.2

mmky

（１）なんでも二乗すれば、０かプラスになることがわかりました。
ｘ~２＞＝０
ｘ~２＋ｙ~２＞＝０、と言えますよね？

　X,Yが実数の場合はそのとおりです。
（虚数や複素数の場合は除きます。X＾2＝-1　の場合がありますから）

（2）は、Mell-Lily　さんの回答どおり。

（3）証明では展開の過程を省略してはいけません。
　　（省略できるのは定理や公理として自明のものだけです。

お礼

回答ありがとうございます。

たしかに。複素数や虚数はだめですね。だから、問題に実数と指定されていたり
するのですね。

確認なのですが、ｘ~２＞＝０であり、ｙ~２＞＝０であり、プラス＋プラスはプラスになるから因数分解で２乗の形にするのですよね？

回答No.1

Mell-Lily

こうですね。

　x^2-xy≧-3y^2
　⇔ x^2-xy+3y^2≧0
　⇔ (x-y/2)^2+11y^2/4≧0

お礼

回答ありがとうございます。
たしかに展開すればそういうことになりますね。
ただ、11y^2/4のところがｙだけが二乗で、１１／４は二乗の形では
ないので１１／４＞＝０ということが言えません。
そんなところで考え中です。