0≦θ<2πのとき、次の不等式を解け。 という問題

質問

0≦θ<2πのとき、次の不等式を解け。

sin（θ - 5/12π）≦1/2

範囲は -5/12π≦θ - 5/12π< 19/12π で
θ - 5/12π = xと置くと、sinx≦1/2
となります。
ここからがよく分からないのですが

範囲のスタート地点は負の部分ですよね？
三角方程式や三角不等式の解に負が含まれてもいいのでしょうか?
例えばこの問題なら、最初にsinxが1/2となるのは30度（π/6）だから
-5/12π≦x≦π/6
とするのでしょうか？

こうした場合
5π/6≦x≦19/12π
も解となり、θ - 5/12π = xだから
xにθ - 5/12πをそれぞれ代入して答え
となると思うのですが、どうなのでしょうか?

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>三角方程式や三角不等式の解に負が含まれてもいいのでしょうか?
全く問題ないですね。何か間違った先入観がありませんか？

>最初にsinxが1/2となるのは30度（π/6）だから
>-(5/12)π≦x≦π/6
>とするのでしょうか？

それで良いですね。あとは元のθにもどして
0≦θ≦(7/12)π
とします。

>こうした場合
>(5/6)π≦x≦(19/12)π
>も解となり、
「(5/6)π≦x＜(19/12)π」の間違い（上限には等号が入らない）

xをθに戻した
(15/12)π≦θ＜2π
もあわせて答えとしないといけないね。
まとめた答えは
0≦θ≦(7/12)π,(15/12)π≦θ＜2π
となるね。

》θ - 5/12π = xだから
>xにθ - 5/12πをそれぞれ代入して答え
>となると思うのですが、どうなのでしょうか?

その通り、θで答えないといけないです。

お礼

皆さま回答ありがとうございました。
理解することができました。

回答No.2

OKXavier

この種の問題の一番大切な点は、
変数を置換した時点での、変数の範囲をきちんと把握することです。

例えば、変数をθからxに変換していますから、

0≦θ<2π　ならば

-(5/12)π≦x＜(19/12)π

となります。

したがって、与えられた問題は
「-(5/12)π≦x＜(19/12)π　のとき、sinx≦1/2　を解け。」
と書きかえられます。

あとは単位円を書いて条件を満たすxの範囲を求めていきます。
答えは、
-(5/12)π≦x≦(1/6)π、(5/12)π≦x＜(19/12)π
から
0≦θ≦(7/12)π、(5/12)π≦θ＜2π
です。

<<ご質問の部分>>
>範囲のスタート地点は負の部分ですよね？
その通りです。

>-5/12π≦x≦π/6　とするのでしょうか？
そうです。