絶対値を含む不等式の証明

質問

お世話様です。

不等式の証明は平方完成して解いてきましたが、絶対値を含む不等式も
それで解けるそうなのですが、なにをしていいのかまったくわかりません。

例題として|a+b|>=|a|+|b|

これの答えはあります。
どんなことをすれば、この絶対値を含む不等式が証明されるかできるだけ
わかりやすく教えて頂ければ幸いです。

納得次第、締め切ります。よろしくお願いします。

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

＞（１）|a-b|<=|a|+|b|
これは,　すでに証明された　|a+b|≦|a|+|b| ・・・（＊）
の式で，a,bは実数で何でも良いので，bを-bで置き換えた式
|a+(-b)|≦|a|+|-b|
⇔|a-b|<=|a|+|b|　[∵a+(-b)=a-b, |-b|=|b|(≧0)　(|-3|=|3|=3など)]
も成立します．

又，場合分けが必要な問題の例ですが，今はあまり適切な例が思いあたらないのですみませんが，例えば
＞[∵|ab|≧ab]（←abが正，０，負のどの場合も成立し，等号はab≧0のとき）
この場合などです．

あとは
例)x^2-|x|+1＞０　が成り立つことを示せ．
これなども，xが正，０，負で分けて示すのが基本的です．

でも実はずるい方法があって
x^2＝|x|^2 より，左辺を|x|の２次関数とみなして
x^2-|x|+1＝|x|^2-|x|+1＝(|x|^2-1/2)^2+3/4≧3/4＞0
(平方完成はもう大丈夫と思います．)
とやれば，場合分けはこの問題では避けられます．

お礼

おかげで絶対値の証明理解することができました。
本当に紆余曲折でしたけど、こんなに早く理解できたのも
毎回おつきあい頂いたおかげです。

まだ勉強しなければいけないので、疑問浮上してくると思います。
またお手数でなければよろしくお願いします。

回答No.4

Mell-Lily

【問題】
次の不等式を証明しなさい。
　|a+b|≦|a|+|b| … (*)

【解説】
まず、各々の要素は、

a+b≧0
　|a+b|=a+b
a+b<0
　|a+b|=-(a+b)

a≧0
　|a|=a
a<0
　|a|=-a

b≧0
　|b|=b
b<0
　|b|=-b

と、絶対値の記号が外せることに注意する。

【証明】
(1)a,b≧0のとき
　|a|=a
　|b|=b
　|a+b|=a+b (∵ a,b≧0ならば、a+b≧0)
であるから、(*)が成り立つ。
(2)a,b<0のとき
　|a|=-a
　|b|=-b
　|a+b|=-(a+b)=-a-b (∵ a,b<0ならば、a+b<0)
であるから、(*)が成り立つ。
(3)a<0,b≧0,a+b≧0のとき
　|a|=-a
　|b|=b
　|a+b|=a+b
だから、
　|a|+|b|-|a+b|=-a+b-(a+b)=-2a>0 (∵ a<0)
よって、(*)が成り立つ。
(4)a<0,b≧0,a+b<0のとき
　|a|=-a
　|b|=b
　|a+b|=-(a+b)=-a-b
だから、
　|a|+|b|-|a+b|=-a+b-(-a-b)=2b≧0 (∵ b≧0)
よって、(*)が成り立つ。
(5)a≧0,b<0,a+b≧0のとき
(6)a≧0,b<0,a+b<0のとき
の場合は、(3)(4)と同じ議論ができる。

お礼

たびたびありがとうございます。

場合わけで証明する方法をこと細かに書いてくださったので
理解できました。
いままでは実数で正が条件でしたが、今後は上記のような問題もでてくると
予想されるので、非常に参考になりました。

またよろしくお願いします。

回答No.2

oshiete_goo

一応（1）のa,bが実数の場合の話を示すと
|a+b|≦|a|+|b| ・・・（＊）
が成り立つことを示す．（ただしa,bは実数．）
一般に実数xについて　|x|^2＝x^2　であることを使う．

[略証]
(＊)の両辺は０以上より，両辺を２乗しても同値で
(右辺)^2－(左辺)^2　　[(注) このような場合は　(大きい方)^2－(小さい方)^2≧０　を示すのが定石]
＝(|a|+|b|)^2－|a+b|^2
＝(|a|+|b|)^2－(a+b)^2
＝|a|^2+2|a||b|+|b|^2－(a^2+2ab+b^2)
＝a^2+2|a||b|+b^2－(a^2+2ab+b^2)
＝2(|a||b|－ab)
＝2(|ab|－ab) [∵|x||y|=|xy|(≧０)]
≧０　[∵|ab|≧ab]（←abが正，０，負のどの場合も成立し，等号はab≧0のとき）

すると
|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2
⇔(0≦)|a+b|≦|a|+|b| 　[∵|a+b|≧０，|a|+|b|≧０ ]
ただし等号はab≧0のとき（←aとbが同符号(正と正，又は負と負)であるか，又は少なくとも一方が０のとき）
となり，題意は示された．

[補足]今のような場合は両辺の２乗を考えてうまくいきましたが，問題によっては場合分けして絶対値を外していかないとならないものもあります．

お礼

またわかりやすい回答ありがとうございます。

（１）の方でよかったです。失礼しました。

確認なのですが、絶対値も両辺を２乗して右辺ー左辺で証明される、で
よろしいでしょうか？公理（定理？）がよくわからなく。たぶん、ａ^２＞＝０
というものを使うと思うのですが・・・。

もう一つ。補足のところにある場合わけする方法とは？
場合わけはこちらで以前、学び、わかっていると思います。
３パターン出せばいいのでしょうか？

たとえば、これは場合わけの問題でしょうか？
ａ，ｂが実数のとき、|a+b|<=|a|+|b|が成り立つことを証明し、これを用いて
次の不等式が成り立つことを証明せよ。

（１）|a-b|<=|a|+|b|

解答ではbに-bを代入して、解いているのですが、なにをすればいいのか
まったくわからないです。
これは場合わけではないですかね？

おつかれでないときまたよろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo

>|a+b|>=|a|+|b|
これは問題が間違っていて，
(正)　|a+b|≦|a|+|b|
でしょう．
いわゆる三角不等式で，(虚数も含め)任意の複素数a,bについて成立します．

ただし，今の場合，
（1）a,bは実数の範囲で考えている
（2）a,bは一般に複素数の範囲で考えている（これは（1）の場合も特殊な例として含みます）
どちらでしょう？
後者ならば，複素数の扱いを知っている必要があって，やや面倒です．