不等式の証明

質問

例によって、近所の高校生からの質問が発端。先ず、問題を書きます。

実数c　(0＜c＜1)　と実数：x、y、a、bの間に　｜x-a｜＜c、｜y-b｜＜c という関係があるとき、｜xy-ab｜＜c*(c+｜a｜+｜b｜)を証明せよ。

この問題は、段階式設問になっており、(1)で三角不等式(つまり、｜x+y｜≦｜x｜＋｜y｜)を証明させた後に　この設問になっているから、それに乗れば　この問題自体は簡単。
しかし、三角不等式が与えてられてなかったら、どのように解くか？

aとbで場合わけをするのは面倒そうだし、という事でなにか良い方法がないだろうか？
検討をお願いします。

回答No.2

hrsmmhr · ベストアンサー

普通にx=a+x_a,y=b+x_bにして
xy-ab=x_a*x_b+a*x_a+b*x_b<c^2+ac+bc=c(c+a+b)<=c(c+|a|+|b|)
にするべきでした

お礼

回答、ありがとうございます。

なるほど、極座標は考えなかったです。いい方法ですね、納得です。<m(__)m>

回答No.1

hrsmmhr

点(x,y)を点(a,b)を中心とする極座標にします(x,y)=(ccosθ+a,csinθ+b)
xy-ab=c^2cosθsinθ+accosθ+bcsinθ=c(ccosθsinθ+acosθ+bsinθ)
<=c(ccosθsinθ+|a|cosθ+|b|sinθ)<c(c+|a|+|b|)