三角関数の不等式の証明問題

質問

三角関数の不等式の証明問題ですが、
(1)0≦x≦π/2のとき、2x/π≦sinx≦xを証明せよ。
(2)0≦x≦π/4のとき、x≦tanx≦4x/πを証明せよ。
の２問をどうやって証明すればいいかわかりません。
どなたか教えてください。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

微分ででますがその前にｓｉｎｘ、ｔａｎｘの図形的なイメージをグラフで確めておく方がいいだろうと思います。

０≦ｘ≦π／２で考えます。
ｓｉｎｘは上に凸の曲線です。原点での接線の勾配は１です。
原点で引いた接線よりも下にあります。

ｔａｎｘは下に凸です。原点での接線の勾配は１です。
原点で引いた接線よりも上にあります。

勾配が１であるというのは微分で出てきます。
でも接線との大小関係というのは図を描けばすぐにイメージの取れることです。

ｓｉｎｘ，ｔａｎｘに対して単に記号で表された式というイメージしかなければ空回りします。そこに微分と言われても空回りが重なってくるだけです。記号操作の連続になるでしょう。

ｘ＜＜１の時に
ｓｉｎｘ≒ｘ　とすることが出来る
というのも同じことです。
接線で代用することが出来るということです。

回答No.3

mister_moonlight

厳密には、sinx＜x　を証明するのに　sinx　の微分を使うのは“循環論法”。
単位円で、中心角がxの扇形とその内部に出来る三角形との大小から考えるのが正解。
sinxを微分すると、cosxになる過程を考えると分かるはず。ｗ

回答No.1

spring135

(1)y=sinx-2x/π,y=x-sinxが0≦x≦π/2の範囲で正であることを示せばよい。微分してみれば明らか。
(2)y=tanx-x,y=4x/π-tanxが0≦x≦π/4の範囲で正であることを示せばよい。微分してみれば明らか。