合成公式を使った三角不等式の解き方について

質問

お世話になっております。合成公式を使った三角不等式で、角がx±aの形になった時の、角xの値の範囲の求め方がいまいちうまくいきません。
例題 0≦x＜2π の範囲で不等式 sinx≧sin{x-(π/3)}を解け。

右辺を加法定理で変形して整理すると、sinx+(√3)cosx≧0。更に合成公式で変形し整理すると、sin{x+(π/3)}≧0……(1)。多分ここまでは機械的に計算しただけなので問題ないとは思います。

条件0≦x＜2πより、(π/3)≦x+(π/3)＜(7π/3)……(2)。(まだ大丈夫だと思います…)
これ以後です。

まず、不等式sinθ≧0を満たすθの範囲は、0≦θ≦π(θ=x+(π/3)と置きました)。
よって、-(π/3)≦x≦(2π/3)。
ここで、-(π/3)は条件(2)を満たさないから……この先の行き場を失う……(怒泣笑)

合成公式を使った三角方程式は機械的に解けるのですが、不等式に躓いてしまいます。単位円は使いまくっておりますが、うまくいきません。特に、最後の条件の扱い方ついてアドバイスいただけると有り難いです。

宜しくお願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

ANo.1です。

＞この時単位円を使って条件(2)を満たすθの範囲を求める方法は、平行移動しない
＞最も基本的な三角不等式の解き方と同じように考えて良いのでしょうか。
それでいいと思います。

θ=x+(π/3)と置き換えているところが、考えやすくなっていて良いと思います。
θとおいて、単位円により範囲を求めてから、ｘの範囲に戻していくのがいいと思います。

回答No.2

151A48

θ=x+π/3　とおきかえると　π/3≦θ＜π/3 +2π　の範囲でsinθ≧0　を解けばよい。
π/3≦θ≦π , 2π≦θ＜2π+π/3　 と２か所に分かれた解になる。
θ=x+π/3にもどし、各辺からπ/3をひけばよい。

お礼

ご回答ありがとうございました。その二か所に分かれたθの範囲が決まる、というところがうまく解けないようです。No.1様へも同様の質問をしましたが、単位円を使って求めるのですか？

回答No.1

ferien

右辺を加法定理で変形して整理すると、sinx+(√3)cosx≧0。更に合成公式で変形し整理すると、
sin{x+(π/3)}≧0……(1)。多分ここまでは機械的に計算しただけなので問題ないとは思います。

条件0≦x＜2πより、(π/3)≦x+(π/3)＜(7π/3)……(2)。(まだ大丈夫だと思います…)
これ以後です。

まず、不等式sinθ≧0を満たすθの範囲は、
＞0≦θ≦π(θ=x+(π/3)と置きました)。

（２）の式から、(π/3)≦θ＜(7π/3)　だと思います。
sinθ≧0を満たすθの範囲は、(π/3)≦θ≦π，２π≦θ＜(7π/3)
(π/3)≦x+(π/3)≦π，２π≦x+(π/3)＜(7π/3)だから、
よって、０≦ｘ≦(2π/3)，(5π/3)≦ｘ＜２π
これは、条件0≦x＜2πを満たします。

でどうでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございました。流石です。

条件(2)(条件というのが正しいのかどうかはちょっと分からないのですが)の範囲で式(1)を満たすθを考えるのがうまくいかないようです。

そもそもθ±aの形になる時は、sinカーブを±aだけx軸方向に平行移動したという事ですね。この時単位円を使って条件(2)を満たすθの範囲を求める方法は、平行移動しない最も基本的な三角不等式の解き方と同じように考えて良いのでしょうか。

分かりにくい質問になってしまいますが、例えば、sin{x+(π/3)}を単位円で考える時は、動径も正の向きにπ/3だけ回転して考えないといけないという事になるのでしょうか。