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等式の証明について
等式の証明で「a^3+b^3+c^3-3abc」の因数分解がわかりません＝0になるまでの解答の道のりをわかりやすく教えていただけないでしょうか。小学校・中学校・高校とやりなおしドリルに挑戦してきて、ここで又とまどっています。どなたか宜しくお願いします。8月に喜寿になった老人がトホホの状態です。
- daishimae502
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一例です (b+c)³＝b³+3b²c+3bc²+c³…公式① X³+y³＝(X+y)(X²−Xy+y²)…公式② 公式②のXをaに、yをb+cにおきかえると a³+(b+c)³＝(a+b+c)(a²−a(b+c)+(b+c)²) この左辺について公式①を用いると a³+(b³+3b²c+3bc²+c³) ＝(a+b+c)(a²−a(b+c)+(b+c)²) 左辺の3b²c+3bc²を右辺へ移項して整理すると a³+b³+c³ ＝(a+b+c)(a²−a(b+c)+(b+c)²)−3b²c−3bc² ＝(a+b+c)(a²+b²+c²+2bc−ab−ca)−3b²c−3bc² ここで2bc＝3bc−bcとおきかえると ＝(a+b+c)(a²+b²+c²+(3bc−bc)−ab−ca)−3b²c−3bc² ＝(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca+3bc)−3b²c−3bc² a+b+c＝М a²+b²+c²−ab−bc−ca＝N とおきかえると ＝М(N+3bc−3b²c−3bc² ＝МN+М×3bc−3b²c−3bc² М、Nを戻して ＝(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) +(a+b+c)×3bc−3b²c−3bc² ＝(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) +3abc+3b²c+3bc²−3b²c−3bc² ＝(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)+3abc ↔a³+b³+c³−3abc ＝(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) を得ます テキストのやり方と異なるかもしれませんが ご自分にとってしっくりくる導出過程での因数分解を理解されるのが良いかと思います
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- gamma1854
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たとえば与式を(a^3+b^3)の部分をはじめに分解してみます。 (与式) =(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc =(a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b+c) ={(a+b) + c}{(a+b)^2 - (a+b)*c + c^2} - 3ab(a+b+c) =(a+b+c){a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2) - 3ab(a+b+c) =(a+b+c){a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca}.
お礼