位相空間の定義に関する疑問

質問

位相空間の定義：
集合Sが次の条件を充たす集合族をもつとき「位相空間」とよぶ

1. 空集合と、S自体がその集合族に属する
2. 集合族に属する集合の交わりが集合族に属する
3. 集合族に属する無限個の集合の和集合が集合族に属する

というのがありますが、1番目の条件は当然として、2番目と3番目の条件で、どうして2は有限個の集合の交わりで定義され、3だけが無限個の集合の和集合で定義されているのかわかりません。例えば、2の条件を「集合族に属する無限個の集合の交わりが集合族に属する」と書き換えるのはどうしてだめなんでしょうか？(具体的に、ちょうど良い例などが浮かばずに困っています。)

回答No.1

graphaffine · ベストアンサー

graphmanさん、今晩は。
定義がおかしいです。
2は、単に交わりと書けば無限個の交わりも含みますが、位相の正しい定義では有限個の交わりであって、無限の場合は含みません。
3は、逆に有限、無限のどちらでも良いので、「無限個の」と言う限定は取り除く必要があります。

有限と無限の違いを認識されていないようですが、次の例で違いがわかりますか？

実数全体の集合Rに通常の位相（ユークリッド位相）を入れる。
このとき、開区間は開集合である。
自然数nに対し開区間I_nをI_n=(0,1+1/n)で定めるとき、有限個のnに対するI_nの交わりは開集合であるが、全てのnに対するI_nの交わりは(0,1]（1以下の正の実数の全体)であり開集合でない。

お礼

graphaffineさん。有り難うございました。
例で確認して見たところ、理解することができました。説明も非常に簡明で、とても分かり易かったです。ありがとうございます。