距離空間と位相空間について

質問

距離空間(A,d)において、dに関する開集合全体をAdとおくとき、(A,Ad)は位相空間であることを示せ。

この問題なのですが、位相空間の定義は理解しているのですが、そこから進まなくて困っています。
どうかご教授お願いします。

回答No.7

tmppassenger · ベストアンサー

>「Pが常に不成立」の時、「PならばQ」の真偽がどうなるか
>→これが私には何をすればよいのかよくわからないです。

論理に関する一般的な知識なので、一度自分で調べてください。
すでに『前提が偽』という言葉も出しています。これで検索してもすぐひっかかる。

お礼

多くの疑問に答えて頂き、また示すべきことをしっかりと誘導して頂きありがとうございます。
まだまだ数学の力がないなと思い、しっかりと勉学に励みたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.6

tmppassenger

(3)1.の「Aが開集合であること」については
> つまりAの元のみを集めているのでAの部分集合であり
という事をずっと話していたのです

(3)1.の「空集合が開集合であること」の方は：
> 「PならばQ」の対偶「QでないならばPでない」の真偽を確かめればよいということでしゃうか？
それでも良いが、既に書いてある通り、「Pが常に不成立」の時、「PならばQ」の真偽がどうなるか、という事。

補足

「Pが常に不成立」の時、「PならばQ」の真偽がどうなるか
→これが私には何をすればよいのかよくわからないです。

回答No.5

tmppassenger

> xはAの部分集合Uの元です。
だからここで「の部分集合U」という言葉を持ち出す必要はなくって、
今は『任意のAの元xに対して、あるεが存在して、xにおける距離dに関するε近傍がAに含まれる』
ことを確認するんだから、『任意のAの元xに対し』とあるんだからxはAの元でしょう？

> 距離dはA上の距離だと思っています。
はい。なので、d(y, z)と書いた時、y, zは当然Aの元ですよね？
なので、『xにおける距離dに関するε近傍』というのは、{ y ∈ A | d(y, x) < ε } の事で、これは当然 Aの部分集合でしょう？

> 空集合は元を持っていません。
なので、
『空集合の任意の元xに対して、あるεが存在して、xにおける距離dに関してε近傍が空集合に含まれる』と言ったことを確認したい。で、この言明は

『任意のxについて、以下が成り立つ。「xが空集合の元ならば、あるεが存在して、xにおける距離dに関するε近傍が空集合に含まれる」』

ということであって、で、P:「xが空集合の元である」Q: 「あるεが存在して、xにおける距離dに関するε近傍が空集合に含まれる」という言明で、PならばQの形になっているが、

> 空集合は元を持っていません。

なので、『Pが常に不成立である』。これが前に述べた『前提が偽』ということ。で、『Pが常に不成立』であるとき、『PならばQ』の真偽がどうか、ということ。

補足

なるほど。『xにおける距離dに関するε近傍』というのは、{ y ∈ A | d(y, x) < ε } つまりAの元のみを集めているのでAの部分集合であり、『任意のAの元xに対して、あるεが存在して、xにおける距離dに関するε近傍がAに含まれる』から位相条件の(1)の1つが示せたということでしょうか？

「PならばQ」の対偶「QでないならばPでない」の真偽を確かめればよいということでしゃうか？

回答No.4

tmppassenger

◯
先ず、『xにおける距離dに関するε近傍』とありますが、xは何の集合の元で、距離dというのはどの集合の上の距離ですか？

◯
『任意の空集合の元xに対して、あるεが存在して、xにおける距離dに関してε近傍が空集合に含まれる』ことを確認するのですが、そもそも『空集合の任意の元x』（こちらの表現の方が分かり易い）と言っているが、そもそも『空集合は元を持っているか？』という事が問題になっています。

補足

xはAの部分集合Uの元です。
距離dはA上の距離だと思っています。

空集合は元を持っていません。

回答No.3

tmppassenger

(3)の1.がある意味一番簡単ですが... 論理式を正しく解釈するだけ。

AがA[d]に『属する』（『含まれる』ではない）事 ：
『任意のAの元xに対して、あるεが存在して、xにおける距離dに関するε近傍がAに含まれる』ことを確認するだけです。
『xにおける距離dに関するε近傍』は当然Aの部分集合なので、『Aに含まれ』ますね。

空集合がA[d]に属すること：
『任意の空集合の元xに対して、あるεが存在して、xにおける距離dに関してε近傍が空集合に含まれる』ことを確認するだけです。
所で、『任意の空集合の元xに対して』とありますが、空集合って元を持ってましたっけ？ "vacuous truth"、つまり『前提が偽』の場合の論理について確認しましょう。

(1)をこの段階で使ってないというのは、先程書いた通り、距離から誘導された位相が『いろいろな便利な性質を持っている』（例えばHausdorffの分離性を満たす）のを示すのに、(1)を使う。

補足

『xにおける距離dに関するε近傍』は当然Aの部分集合なので...
→ここがよくわからないのですが、もう少し具体的に教えて貰えないでしょうか。

『前提が偽』の場合の論理について確認しましょう。
→前提とは開集合の定義のことですか、、？

回答No.2

tmppassenger

ならば(3)の1. 2. 3を、(1)(2)の性質をつかって示すだけです。(3)の1. 2. 3を示す方法を考えて、補足に下さい（あるいはどこが分からないのか、具体的に記載をお願いします）

※実際には(1)の性質はほとんど使わないかもしれない。(1)は距離空間がHausdorff空間であることを示す時に使う。

補足

(3)の2.3を示すことは恐らくできたのですが、1が示すことができません。

また、(1)については特に何も使ってないのですが、距離空間だからε近傍を考えることができるから開集合の定義が(2)のようにできるという点で使われているのでしょうか？

回答No.1

tmppassenger

定義に従って確認するだけですが：

(1) (A,d)が距離空間である、即ち写像dが集合A上の距離である、とはどういう定義ですか？
(2) 距離空間Aの部分集合 U⊂Aが Aのdに関する開集合である、とはどういう定義ですか？
(3) (A, A[d]) が位相空間である、とは何を確認すればよいですか？（つまり、A[d]が確かにAの開集合系である、とは何を確認すればよいですか？）

一先ずここまで補足にお願いします。

補足

(1)
x,y,zをAの任意の元として
1. d(x, y) ≥ 0
2. d(x, y) = 0 ↔ x = y
3. d(x, y) = d(y, x)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
4つの条件を満たすときdがA上の距離である

(2)任意のUの元xに対して、あるεが存在して、xにおける距離dに関してε近傍がUに含まれる
ことです。

(3)
1. Aと∅がA[d]に含まれること
2.有限個のAの開集合の共通部分もまた、Aの開集合であること
3.任意個のAの開集合の和集合もまた、Aのかであること
です。