位相の定義ついて

質問

位相の定義ついて

質問させていただきます。

定義の仕方は参考書等で異なるということは理解していますが、私の持っている参考書には以下のように記載されています。

(定義)--

集合XとXの部分集合族Oについて、Oが次の条件を満たしている場合、OをX上の位相と呼ぶ

(O1)　Xおよび空集合0はOの元である

(O2)　Oの任意の部分集合Т'に対して、Т'の元の和集合がOの元である
　　　すなわち、

　　　∪{T：T∈Т'}∈O

　　　が成り立つ

(O3)　Oの任意有限個の元T_1,T_2,・・・,T_nに対してそれらの共通集合がOの元である
　　　すなわち、

　　　∩{T：i ＝ 1,2,・・・,n}∈O

　　　が成り立つ

--

ここで、疑問があります。

(O2)は以下のように言い換えることはできますか？

(O2)　Oの任意有限個の元T_1,T_2,・・・,T_nに対してそれらの和集合がOの元である
　　　すなわち、

　　　∪{T：i ＝ 1,2,・・・,n}∈O

　　　が成り立つ

(O3)は以下のように言い換えることはできますか？

(O3)　Oの任意の部分集合Т'に対して、Т'の元の共通集合がOの元である
　　　すなわち、

　　　∩{T：T∈Т'}∈O

　　　が成り立つ

「Oの任意の部分集合Т'の元」
と
「Oの任意有限個の元T_1,T_2,・・・,T_n」

の違いが良く分かっていないのです。。。

どなたか、良い具体例などを交えて、分かりやすく解説していただけませんか？

教科書だけ読んでいるとうまくイメージできません。。。

回答No.1

boiseweb · ベストアンサー

位相空間を考えるとき，通常，Oは無限集合（Oの要素は無限個ある）です．
Oの部分集合T'をとったとき，T'の元の数は有限個の場合も無限個の場合もあり得ます．
(O2)はT'の元の個数が有限個，無限個どちらの場合にも適用が許されます．
一方，(O3)は元の個数が有限個の場合にしか適用できません．

それでは，なぜ，位相の定義において，(O3)には「有限個の要素に限って適用できる」という（(O2)にはない）制限をつけているのか？

そもそも，抽象的な位相の定義以前に，直線や平面などの距離空間には「距離から定まる位相」があります．
距離から定まる位相を考える時に，「開集合たち（有限個であろうと無限個であろうと）の和集合はまた開集合になる」「【有限個の】開集合たちの共通部分はまた開集合になる」のは大丈夫ですが，【無限個の】開集合たちの共通部分は開集合になるとは限りません（このことを確かめるのは標準的な演習問題です）．
もし(O3)を無限個の要素への適用を許す形に強めると，距離から定まる位相（＝開集合全体の集まり）が位相の定義をみたさなくなり，使い物にならない定義になってしまいます．

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

回答のなかで、疑問点がございますので、確認させてください。

集合Xのの部分集合族Oが何故、無限集合（Oの要素は無限個ある）になるのでしょうか？

有限な集合の部分集合族は必ず有限になるかと理解していますが、間違っていますでしょうか？
そもそもXが有限と決め付けて考えているのが間違いでしょうか？

＃ちなみに、Oは参考書ではTのギリシャ文字みたいな文字です。
＃入力できないので、勝手に私がOと書き換えています。

回答No.3

kabaokaba

＞集合Xのの部分集合族Oが何故、無限集合（Oの要素は無限個ある）になることは理解できました。

本当に分かってますか？
無限集合の部分集合族は無限とは限らないし，
無限集合の部分集合族で位相をなすもので有限なものだってあります．
定義は定義としてありのままに理解しましょう．
位相の定義に部分集合族Oが有限だとか無限だとか書いてないのは
必要ないからです．

>では、【無限個の】開集合たちの共通部分が開集合になるとは限らないということを具体的に説明していただけませんか？

こういうのは自分で考えるのが勉強なんですが。。。
シンプルなものを一個だけ

実数Rに「普通の位相」を入れて
開区間の族{U_i=(-1/i, 1/i)}（iは自然数）を考える．
この族の共通部分は開集合？

お礼

>実数Rに「普通の位相」を入れて0
>開区間の族{U_i=(-1/i, 1/i)}（iは自然数）を考える．
>この族の共通部分は開集合？

{0}なので閉集合ですね。

開集合、閉集合の定義を理解することから勉強しなおしたら、位相の定義に納得できました。

あ、納得するのではなく、定義は定義としてありのままに理解することができました。ですかね。

ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

＞ そもそも X が有限と決め付けて考えているのが間違いでしょうか？

それは、確かに間違いでしょうね。 実数の位相とか、どうするんですか？

ところで、(O3) を、以下のように言い換えることはできます。

(O3') Oの任意の２元 T_1, T_2 に対して、それらの共通集合が O の元である。
　　　すなわち、T_1 ∩ T_2 ∈ O が成り立つ

補足

ありがとうございます。

集合Xのの部分集合族Oが何故、無限集合（Oの要素は無限個ある）になることは理解できました。

また、(O3) の言い換えも理解できました。

では、【無限個の】開集合たちの共通部分が開集合になるとは限らないということを具体的に説明していただけませんか？