正則かつ非正規である位相空間

質問

正則空間であり正規空間でないような位相空間の例を教えてください。
（証明は書かなくても構わないです。ただできれば、位相を開集合系、閉集合系、
近傍系、基本近傍系、開集合系の基底のどれか一つのみで定めてください）

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

いわゆる「Sorgenfrey平面」と呼ばれるものがそのような
ものの例になっています。
定義は：
http://www.ipc.shizuoka.ac.jp/~echohta/top/QA/comments01.html

お礼

回答大変ありがとうございました。
時間が掛かりましたが確かに証明することができました。

＊＊＊以下、この質問ページに訪れた人のため証明の概要を記載＊＊＊
http://www.math.ru.nl/~vangool/teach/top/sorgenfreyplaneisnotnormal.pdf
でのlemma 1.を参考にした。記号の説明を下に挙げておく。

(S,O!):台集合がS、開集合系がO!の位相空間
(位相空間の開集合系O!や閉集合系A!は"!"をつけて普通の集合と区別した)
card(A):集合Aの濃度
P(A):集合Aの部分集合系

(1)次の定理を証明する。

位相空間(S,O!)において次の条件を満たす部分集合D,Aが存在するならば、(S,O!)は正規空間ではない
(a)Dは(S,O!)において密である
(b)A∈A!かつ部分空間(A,Oa!)は離散空間である
(c)card(A)≧card(P(D))

(2)Sorgenfrey平面(R×R,O!)において次のことが成り立つ。
(a)Q×Qは(R×R,O!)において密である。
(b)L={(x,-x)∈R×R:x∈R}とすればL∈A!となる。また部分空間(L,Ol!)は離散空間である。
(c)card(L)=card(P(Q×Q))=card(R)

(3)(1),(2)よりSorgenfrey平面(R×R,O!)は非正規であることがわかる。