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位相空間についての質問と解答
- 位相空間についての質問と解答
- 質問文章では、実数の集合Rにおける部分集合族Oについて問われています。具体的には、Oが開集合系であること、写像fが連続であること、写像gが連続でないことを示す必要があります。
- 解答の概要として、(1)開集合系の定義に基づいて、RとφがOに含まれ、無限集合の積集合と和集合もOに含まれることを示します。(2)fの値域が[0,∞)であるため、任意のU∈Oに対してfの逆像f^(-1)(U)は無限集合となります。(3)gの値域が[-1,1]であるため、任意のW∈Oに対してgの逆像g^(-1)(W)は有限集合となります。
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>(3)はW=R-{0}としたときg‐1(W)=R-{nπ}(n=0,1,2・・・)となり、{nπ}は無限集合となるのでg‐1(W)はOに含まれないということでしょうか? そう.これでg(x)=sin(x)が この位相において連続ではないことがわかる. #ある開集合Uに対して, #g^{-1}(U)が開集合ではないことを示せばいいから 本質は,sin(x)が周期関数だから, 有限個の点の逆像が無限集合になるということ. (2)に関しても同様に具体的な開集合に対して 実際に逆像を求めてみればいいのです. たとえば,U=R-{1}とかすると f^{-1}={1,-1}でしょう. だから,f^{-1}(R-{1}) = R-{-1,1} y=x^2のグラフを描いてみればほとんど自明. y軸上に有限個の点をとれば それの逆像をx軸上に描ける. そうすれば,この位相での任意の開集合の逆像が どういう形になるか容易にわかります. 式で一気にかけば U=R-{a1,a2,...,an} (a1,..ai <0, ai+1,...,an>=0) に対して f^{-1}(U) = R - ∪_{k=i,..,n} {x | x^2 = ak} でしょ? こういう問題は,題意を理解するために 簡単な具体例で少し計算するといいのです.
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- kabaokaba
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>(1)をまずやってみました。 一ヶ所間違いがあります. >∪Wλ=∪(R-Aλ) > =R-∪Aλ >∪Aλは有限集合なので∪Wλ∈O ∪と∩の取り違い. 有限集合の和集合は有限とは限らない.
お礼
ありがとうございます! (3)はW=R-{0}としたときg‐1(W)=R-{nπ}(n=0,1,2・・・)となり、{nπ}は無限集合となるのでg‐1(W)はOに含まれないということでしょうか? (2)なんですが、W=R-Aとしてf‐1(W)がOに含まれることがうまくいえません・・・ しつこくてすみませんが、(2)についてヒントをいただけないでしょうか?
- kabaokaba
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>()U1、U2∈O⇒U1∩U2∈Oは無限集合の積集合は無限集合 >()Wλ∈O⇒∪Wλ∈Oは無限集合の和集合は無限集合 >な感じでよろしいでしょうか? だめです.きちんと定義に従ってください そもそもOに属することと無限集合であることは まったく違うことです. #無理数全体は無限集合だが,けっして実数全体から #有限集合をとりのぞくことでは得られない #したがって,無理数全体はOには入らない無限集合 したがって, >(2)はf(x)に値域が0≦f(x)≦∞であるから任意のU∈Oに対してf‐1(U)は無限集合 これもだめです. そもそも,値域がどうかかわっているのか不明(説明不足). きちんと,f^{-1}(U)を考えて,Oの定義に当てはめてください. >(3)はg(x)の値域が-1≦g(x)≦1であるから任意のW∈Oに対してg‐1(W)は有限集合 これはもっとだめです. 値域のかかわりも不明(説明不足)だし,そもそも 本当にg^{-1}(W)はつねに有限ですか? たとえばW=R-{0}とした場合,g^{-1}(W)は? #g^{-1}(R-{0})がわかれば「連続ではない」理由はみえるわけで #決して値域がどうこうということ話ではないことも見える.
お礼
回答ありがとうございます! しばらく考えてまた補足の欄に考えを書こうと思うのでまたよろしくお願いします。
補足
(1)をまずやってみました。 U1、U2∈OとするとA1、A2を有限集合として U1=R-A1, U2=R-A2と表せる。 U1∩U2=(R-A1)∩(R-A2) =R-(A1UA2) A1UA2は有限集合なのでU1∩U2∈O 次に任意のλ∈Λに対してWλ∈Oとすると Wλ=R-Aλ(Aλは有限集合) と表せる。このとき、 ∪Wλ=∪(R-Aλ) =R-∪Aλ ∪Aλは有限集合なので∪Wλ∈O これで大丈夫でしょうか?
お礼
回答ありがとうございます! すごくわかりやすかったです!確かに今考えてみれば周期関数だからそうなりますよね。具体例で計算すれば見えてくるんですね。。。 (2)についても参考にして自分なりにまとめてみたいと思います。 本当に助かりました!ありがとうございます! お世話になりました。