位相空間の本で

質問

読んでいてあまりわからない所が２点ありまして、

１．XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れると、
　　Xの部分集合Cがコンパクト ⇔ Cが有限集合

という部分と、

２．Xをコンパクトハウスドルフ空間、Yをハウスドルフ空間とするとき、
　　写像ｆ：X→Yが全単射連続なら逆像ｆ-1：Y→Xも連続になる

という部分に疑問が残りました。

１．については、コンパクト⇒閉集合であることや、Cが有限集合なら有限個の開被覆で覆えるからコンパクトである、ということが使える（？）のではじめの「XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れる」部分が必要ないのではないかとも思うのですが・・・
２．については、Xがコンパクトハウスドルフ空間ならその部分集合Cもコンパクトでその写像はやっぱりコンパクトで・・・その逆像もコンパクトで・・・・？
どこから連続の議論に持っていけばよいのかが分かりませんでした。

「証明は読者に委ねよう」というお得意の言い回しで飛ばされてしまっていて、なんだか消化不良のままです＞＜　ご返答よろしくお願い致します。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

あまりマニアックな位相空間論は今後の数学の学習に必ずしも必要だとは思わないのですが、位相空間の問題を解くときは常に次のことに注意してください。すなわち、

～～な位相空間においては、……なら×××

という命題で、～～を常に意識するようにしてください、ということです。

たとえば、「コンパクト⇒閉集合」と思い込まれているようですが、これはハウスドルフ空間でなければ、正しくはありません。すべての部分集合を開集合とする位相（離散位相と呼びます）はハウスドルフ位相なので、したがって、コンパクト⇒閉集合が成り立つのです。自動的には成り立ちません。

ちなみに有限集合はどんな位相空間でもコンパクト（これはコンパクトの定義から明らか）ですが、コンパクト集合が常に有限集合かというとそうではありません。ユークリッド空間なら閉単位球は明らかに無限集合だがコンパクトです。したがって何の仮定もなく、『Xの部分集合Cがコンパクト ⇔ Cが有限集合』が成り立つわけではないのです。

2に関しては、超有名問題ですから、もう一度ゆっくりと吟味されたいですが、連続の定義を思い出せばよいです。いくつか同値な命題がありますが、いちばん使いやすいのは、閉集合の逆像が閉集合というものです。つまりXの任意の閉集合Fをf-1で引き戻すと、Yの閉集合になれば連続だ、というわけです。f-1で引き戻す、ということは(f-1)-1を考えることですから、要するにf(F)がYの閉集合になれば、f-1は連続ということになります。

もう一度まとめると、f-1が連続を示すためには、Xの任意の閉集合Fに対してf(F)が閉集合であることを示せばよい、ということです。さてFはXの閉集合だからコンパクトです。連続写像はコンパクト集合をコンパクト集合にうつします。つまりf(F)はYのコンパクト集合です。ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合です。というわけで証明が終わるわけですね。重要な定理を三つ述べました。『～～な位相空間においては、……なら×××』によく注意して、復習されてみてはどうでしょうか。

お礼

>「コンパクト⇒閉集合」と思い込まれているようですが、
>これはハウスドルフ空間でなければ、正しくはありません。
ご指摘もっともですね＞＜　つい先日理解したばかりであったのに「距離空間において」の部分をすっかり忘れてしまってい、中途半端な理解になっていました。激しく反省しております。

１．についてはハウスドルフ位相において←のほうをしっかり考え直してみたいと思います。
２．のほうはお返事の内容で理解できました。今一度自分の言葉で書けるようにしておきたいと思います。
ありがとうございました。