Γ(n+1/2)≒n！/√nの証明

質問

Γ(n+1/2)≒n！/√nを証明する前にΓ(n+1/2)=(2n)!√π/((4^n)・(n!))を証明しました。これとスターリンの公式を使用してΓ(n+1/2)≒n！/√nを導けという問題が出題されたのですが解けなくて困っています。
どなたかわかる方ご指導お願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

スターリングの公式
n!～√(2π)・n^(n+1/2)・e^(-n)
nを2nにすると、
(2n)!～√(2π)・(2n)^(2n+1/2)・e^(-2n)
（～はn→∞にすると、比が1に収束するという意味。
だから、nが大きければほぼ等しいということ。）
この２つを、書かれた式に代入して整理すると、
Γ(n+1/2)～√(2π)・n^n・e^(-n)
となる。
さらに、この右辺は、
√(2π)・n^(n+1/2)・e^(-n)／√n
と変形できて、分母はスターリングの公式から、ほぼn!なので、
Γ(n+1/2)～n!/√n

お礼

(2n)^2nから4^nがでてくることを見落としていました。
今更ですが基本の大切さを思い知りました。

ありがとうございます！
とてもわかりやすかったです。