𝓃(𝓃-1) (2𝓃-1)は６の倍数である

質問

kを使わずに(2𝓃-1)を変形して証明を導くのが正攻法ですが、すべての整数𝓃が 𝓃=2k, 𝓃=2k+1 、𝓃=3k, 𝓃=3k+1 , 𝓃=3k+ 2（kは整数）で表されることから(𝓃-1) (2𝓃-1)をkで表して証明しようとしたのですがうまくいきません。

回答No.3

kiha181-tubasa

＞𝓃=2k, 𝓃=2k+1 、，𝓃=3k, 𝓃=3k+1 , 𝓃=3k+ 2（kは整数）で表されることから……

こういう発想は基本的に正しいです。
が，質問者の作業には誤りもありました。

基本的に「６の倍数である　⇔　２の倍数でありかつ３の倍数である」
事を使います。

２の倍数であることを証明するには，𝓃=2k, 𝓃=2k+1の場合について，質問者が言うようにすれば良いのです。
しかし，実はn(n-1)が連続する２つの整数の積であり，連続する２つの整数のうち必ず一方は偶数なので，n(n-1)は偶数つまり２の倍数であることは明らかなのです。

従って，３の倍数であることを証明すれば完成することになります。
質問の中に「(n-1)(2n-1)をkで表して証明しようとしたのですがうまくいきません」とありますが，これが誤りだったのです。nを外していることが誤りだったのです。
𝓃=3k, 𝓃=3k+1 , 𝓃=3k+ 2の場合について
n(n-1)(2n-1)をkで表す作業をすれば成功だったのです。
（n=3kの場合はn自身が３の倍数になりますね）

回答No.2

gamma1854

P(n)=n(n-1)(2n-1) とします。
P(n)が偶数であることは明らかです。
--------------
n=3k+1 と表されるとき、
P(n)=(3k+1)*3k*(6k+1),
n=3k+2 と表されるとき、
P(n)=(3k+2)*(3k+1)*(6k+3).
でいずれもP(n)は３の倍数。
以上より、P(n)は 2*3=6 の倍数です。

回答No.1

maskoto

ちょっと今時間ないので直感ですが
n＝6k
n＝6k+1
n＝6k+2
…
n＝6k+5
で場合わけして、それぞれ6の倍数である事を示す方針でいけるかなと思います