( n(n+1)(2n+1) )/6 の証明について

質問

1^2 + 2^2 + ... + n^2 = ( n(n+1)(2n+1) )/6　の証明についてです

3(1^2 + 2^2 + ... + n^2)

=(n+1)^3 -1 -(3n(n+1))/2 -n

=(n+1)^3 - (3n/2)(n+1) - (n+1)

<<このあたりの計算は中略>>

=(n+1)((1/2)n(2n+1))

∴ ( (n+1)((1/2)n(2n+1)) )/3

=( n(n+1)(2n+1) )/6

よって

1^2 + 2^2 + ... + n^2

=( n(n+1)(2n+1) )/6

こんな出だしの証明になっているのですがどうでしょうか？

いきなり全体に３をかけて 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2)

という出だしになっていますが、これでもＯＫでしょうか？

どうぞアドバイスよろしくお願いいたします。

回答No.3

toshih2000 · ベストアンサー

昔使った、高校の教科書に載っていました。
そもそも
(x+1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1
を使うのです。
x に 1から nまでを順に代入していくと
2^3 - 1^3 = 3・1^2 + 3・1 + 1
3^3 - 2^3 = 3・2^2 + 3・2 + 1
4^3 - 3^3 = 3・3^2 + 3・3 + 1
～途中省略～
n^3 - (n-1)^3 = 3・(n-1)^2 + 3・(n-1) + 1
(n+1)^3 - n^3 = 3・n^2 + 3・n + 1
となって
これらを全部縦に足します。
すると
(n+1)^3 -1 = 3・Σ(x^2) + 3・Σx + n
となり、
3・Σ(x^2) = (n+1)^3 -1 - 3・n(n+1)/2 - n
が得られます。
証明はここからスタートしているんですね。

回答No.2

arrysthmia

神を信じて
( n(n+1)(2n+1) )/6 - ( (n-1)n(2n-1) )/6
を計算しなさい。

お礼

は？

回答No.1

osamuy

＞ 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2) = (n+1)^3 -1 -(3n(n+1))/2 -n
この右辺がどこから出てきたか、説明する必要があるのでは。