lim[n→∞](1+1/n)^n が収束することの証明について

質問

lim[n→∞](1+1/n)^n　が収束することの証明の中で、

1+1+(1/2!)+(1/3!)+…+(1/n!)
≦1+1+(1/2)+(1/(2^2))+…+(1/2^(n-1))
＝1+{1-1/(2^n)}/(1-1/2)
≦3

というような不等式があるのですが、なぜこれが成り立つのかわかりません。教えてください。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

つまり、
(1/n!) ≦ (1/2^(n-1))

となることがわかれば良いと思うのですが、
具体的に書き出せば、以下のようになります。

n=2; 1/2 = 1/2
n=3; 1/(3*2) < 1/(2*2)
n=4; 1/(4*3*2) < 1/(2*2*2)
n=5; 1/(5*4*3*2) < 1/(2*2*2*2)
...
n=n; 1/n! < 1/2^(n-1)

ここで、2より大きな数字aに対して，1/a < 1/2
が一般に成り立ちますから，
1/2より小さいものでかけ算するよりも，
1/2でかけ算した方が大きな値になると言えます。

お礼

よくわかりました！ありがとうございました！