lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

質問

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか？
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

回答No.3

tasu9 · ベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)　　　〔t→0〕
がｅの定義なので、（t→＋0でもt→-0でもＯＫ）
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、ｔ→-0なので、
（与式）＝lim(1+t)^(-1/t)　　　〔t→-0〕

これを変形すると、
＝lim｛(1+t)^(1/t)｝^-1　　　〔t→-0〕
＝e^-1
＝1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

お礼

tasu9様
お礼が遅くなってしまい失礼いたしました。
ご回答いただきありがとうございました。
私にも理解できる方法でご教示いただき、
感謝しております。
とても勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

yumisamisiidesu

No1です
もう少し一般的には
　f(z):=lim(1+z/n)^n とおいて
　f(z+w)=f(z)f(w)も示せばいいと思います

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1300140

回答No.1

yumisamisiidesu

x=lim[n→∞](1-1/n)^n とおいて
ex=1 を示せないでしょうか
ここで一番の要はlimと掛け算が可換になるための条件を満たすことを言わなければならないことと思います

お礼

yumisamisiidesu様
お礼が遅くなってしまい失礼いたしました。
ご回答いただきありがとうございました。
私の数学力では、ご回答いただいた内容を
理解することが出来ず、大変恥ずかしく感じております。
さらに勉強してyumisamisiidesu様のご回答を
理解できるようにしたいと思います。
ありがとうございました。