∫<x=0～1> (logx)^ｎ dx = (-1)^n・n! の証明

質問

∫<x=0～1> (logx)^ｎ dx = (-1)^n・n!　が成立すると聞いて
証明しようと思ったのですが、証明法が分かりません
n=1,2,3を入れ、各場合で積分すると、確かに成立するなぁ…ってくらいしか分かりません。
どなたか教えてください。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

漸化式を作ってみると、

工(1)=∫[0,1]dx{(logx)}
　　　=x{(logx)}[0,1]-∫[0,1]dx
　　　=(-1)

工(n)=∫[0,1]dx{(logx)^n}
　　　=x{(logx)^n}[0,1]-n∫[0,1]dx{(logx)^(n-1)}
　　　=(-n)工(n-1)

工(n)=[-(n)][-(n-1)][-(n-2)]・・・[-(1)]
　　　=[(-1)^(n)](n!)

となるようです。

回答No.1

kesexyoki

数学的帰納法でやってみてはいかがですか？