二次関数

質問

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

aを定数として、二次関数f(x)=x^2+4x-a^2+5aがある。

x＞0を満たすすべてのxの値に対してf(x)＞0となるようなaの値の範囲を求めよ。

という問題がわかりませんでした。
条件がf(0)≧0となるそうなんですが、この意味がさっぱりわからず困っています。
答えは0≦a≦5です。

教えてください。
すみませんよろしくお願いいたします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

肝心な説明を明らかにせず解答しているようだ。
つまり、条件を満たすためには、何故f(0)＞0ではなく、f(0)≧0として等号が入るのかについての、明確な説明がない。

この等号の問題は、質問者の疑問の１つだろうが、それは慣れないと結構頭を悩ますようだ。
私も、こんな場合は座標を使うようにするようになったらそんな悩みも霧散したが、そうではない解法の場合はどうするか？

ぶっちゃけた話だが、こんな場合は先ず等号を入れて考えてみる。
つまり、この場合は0≦a≦5として考える。実際、-a^2+5a＝0とすると、(x)=x^2+4x＝（x+2）＾2-4からそのグラフをx＞0の範囲で考えると、確かに　-a^2+5a＝0でも条件に合致するから、等号を含んでよい。
しかし、等号を含んでしまうと条件に合致しない場合なら、“そっと、初めから等号を含まない場合が条件”として、答案を書き直したらよい。
こんな方法は邪道である事は承知の上だが、窮余の一策として試したらいいだろう。
勿論、最初から等号を含むかどうかが判断できる事がbestではあるが。。。。笑

お礼

ご回答ありがとうございます。

私のわからないところをずばり回答してくださいまして本当に感謝です
。また１つ勉強になりました～（＾ｖ＾）

回答No.2

noname#75273

まず、二次関数f(x) = x^2 + 4x - a^2 + 5a は、下に凸の放物線であることはイメージできてます？
次に平方完成により、
f(x) = ( x + 2 )^2 - 4 - a^2 + 5a となります。
⇒　f(x) の頂点の座標は、( -2 , - 4 - a^2 + 5a ) になります。
⇒　この条件で、グラフを描くと条件の「f(0)≧0」が分かってくると思いますが・・・。
f(x) の頂点は、-2 (固定)となるので、
f(0) ≧ 0 （関数f(x) の x 座標が 0 のとき、f(x) が 0 以上）であれば、「x＞0を満たすすべての x の値に対して f(x)＞0 がいえます。」

お礼

ご回答ありがとうございます。
数学がんばりたいと思います！！

回答No.1

okada2728

まずこの関数のグラフをイメージします。
すると、x=-2に軸を持つ下に凸の放物線で開き方も一定です（aの値にかかわらず）。あとはaの値によって変わるのはグラフの上下方向の位置だけですね。
これらのことに注意すれば、x>0でf(x)>0となるためにはf(0)の値がポイントとなり、この値が正または0であれば、上述したグラフの形から必ずx>0でf(x)>0となってくれると思うのですが、いかがでしょうか。

お礼

ありがとうございました。
ご回答とっても参考になりました(^^)