2次関数の問題です。

質問

すみません。以下の問題ですが、先日質問して、回答をいただいたのですが、答えのみでしたので、考え方が分かりませんでした。操作を誤って、質問締め切りになってしまったので、再質問させていただきます。考え方を教えていただければ幸いです。よろしくお願いいたします。

2次関数 ｆ(x)＝－1／10x2+6x－ax（aは正の定数、定義域0＜ｘ＜60）
（－10分の1エックス2乗＋6エックス－aエックス）

１．0＜ｘ＜60の範囲のすべてのxについて、ｆ(x)＜0となるようなaの値の範囲は、
a＞＝「？」である。

２．また、0＜a＜「１の解答」のもとで、ｆ(x)の最大値が60より大きくなるような
aの値の範囲は、0＜a＜「？？」である。

３．さらにこのとき、ｆ(x)の最大値を与えるxのうち、最小の整数は、x＝「？？」、最大の整数はx＝「？？」である。

すみません。クエスチョンマークのところに何が入るか分かりません。よろしくお願いいたします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

f(x)=(-1/10)x^2+(6-a)x
f(x)=(-1/10){x+5(a-6)}^2+5(a-6)^2/2
f'(x)=(-1/5)x+6-a
f'(x)=(1/5){5(6-a)-x}
x<5(6-a)の時f'(x)>0だからf(x)は増加
x=5(6-a)の時最大値f(5(6-a))=5(a-6)^2/2
x>5(6-a)の時f'(x)<0だからf(x)は減少

(1)
5(6-a)>60の時
0<x<60<5(6-a)
だからx<5(6-a)だから
f(x)は増加で
0<xだから
0=f(0)<f(x)
だからf(x)<0とならない

0<5(6-a)≦60の時
x=5(6-a)の時最大値f(5(6-a))=5(a-6)^2/2≧0
だからf(x)<0とならない

5(6-a)≦0
の時,6-a≦0,6≦a,a≧6
5(6-a)≦0<x<60
だからx>5(6-a)だから
f(x)は減少で
0<xだから
0=f(0)>f(x)だから
f(x)<0
a≧6の時0<x<60の範囲のすべてのxについて,f(x)<0となるから
∴
a≧6

(2)
0<a<6
のもとで
0<6-a<6
0<5(6-a)<30<60
だから
x=5(6-a)の時最大値f(5(6-a))=5(a-6)^2/2>60
(a-6)^2-24>0
(a-6+2√6)(a-6-2√6)>0
a-6-2√6<0だから
a<6-2√6
∴
0<a<6-2√6

(3)
このときf(x)の最大値を与えるxは
x=5(6-a)
だから
2√6<6-a<6
10√6<5(6-a)<30
10√6<x<30
24<10√6<25だから
最小の整数は
x=25
最大の整数は
x=29
である

補足

ありがとうございます。微分で考えるのですね。何となく分かってきました。

回答No.2

asuncion

＞頂点がマイナスにはならない
頂点の「何」が負にならないのかを明記しないとダメ。
x座標？y座標？

回答No.1

tarou1916

この題意には矛盾があります
0＜ｘ＜60の範囲のすべてのxについて、ｆ(x)＜0となるような・・・
この「１の解答」で
0＜a＜「１の解答」のもとで、ｆ(x)の最大値が60より大きくなるような・・・
ことはありえません。
題意を確認して再質問されるとよいでしょう。

補足

ありがとうございます。私は２次関数を平方完成して頂点を求めることしか分からないのですが、頂点がマイナスにはならないということなのでしょうか。