指数関数について

質問

今指数関数の問題をやってるのですが分からないものがあります。
教えていただけるとありがたいです。

(1)等式(2^m)n-2^(m-1)=1000の正の整数m,nの値を求める。

2^mを文字でおいても結局は分からない数が２個のままでどうにもなりません。

(2)4^x-(a^2)(2^x)+2a^2+4a-6=0について正の解と不の解をそれぞれ１つずつ持つときの定数aの値の範囲を求める。

等式をＦ(x)としてx=0のときにaは正と不の2解を持つから、x=0を代入して式を進めて行くと
Ｆ(0)=(a+5)(a-1)<0　よって-5<a<1となったのですが、答えを見ると-5<a<-3なのです。

方針が根本から間違っているのか、aの範囲の条件が足りないのか分かりません。

よければご回答おねがいします。

回答No.2

banakona · ベストアンサー

（１）だけ。正の整数とか２のべきとか情報があるので「なんとかなる」と思ってください。

　左辺＝２^（m－１）（２ｎー１）
で、これが右辺の１０００に等しい。２ｎー１は奇数なので、１０００の因数の中から奇数になるものを探す。１０００＝１０^3＝２^3×５^3なので、奇数の因数は１，５，２５，１２５しかない。

与式を少し変形して　２^（m－１）＝１０００／（奇数）

奇数として、上記あげたものを入れていくと、１０００で割ったとき、それが２のべき乗になるものは４つのうち一つしかないのが分かります。

回答No.3

banakona

ちょっと安易すぎる気がします。ｘの2次関数ではないので、Ｆ（０）＜０はまずいでしょう。
でも結局、2次関数に持ち込むんですが。

まずＢ＝2^xとでも置きましょうか。すると、４^x＝Ｂ＾２なので、Ｂ^2-(a^2)Ｂ+2a^2+4a-6＝０
となります。

で、「正の解と負の解をそれぞれ１つずつ持つ」を、Ｂに置き換えると、「０＜Ｂ＜１と、１＜Ｂでそれぞれ一つずつ解を持つ」ということになります。あとはおなじみの2次関数の解法でイケるでしょう。

回答No.1

sanori

こんばんは。
２問まとめてだと酷なので、とりあえず（１）だけ

両辺を、２^(m-1)　で割ります。
２ｎ　－　１　＝　１０００÷２^(m-1)
ｎが整数であるためには、右辺の　１０００÷２^(m-1)　が整数。
右辺の　１０００÷２^(m-1)　は、
１０００、５００、２５０、１２５　の４通りしかありません。
（そのとき、ｍは、１，２，３，４）

ご参考に。