２次関数の解き方についての質問です。

質問

２次関数の解き方についての質問です。

　２つの２次関数ｆ（Ｘ）＝Ｘ＾２+２ax+２５、g（Ｘ）＝－Ｘ＾２+４ax－２５がある。どんなＸ?、Ｘ?の値に対してもｆ（Ｘ?）＞ｇ(Ｘ?)が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

　答えはー√10<a<√10らしいですがどのように解くのかわかりません。
　よろしくお願いします。

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

> どんなＸ?、Ｘ?の値に対してもｆ（Ｘ?）＞ｇ(Ｘ?)が成り立つような

これ、文字化けしてますか？　それとも、そのままですか？

条件が「どんなXに対しても、f(X)＞g(X)が成り立つ」のか、「どんなX1、X2に対しても、f(X1)＞g(X2)が成り立つ」のかで、答えが変わります。

「どんなXに対しても、f(X)＞g(X)が成り立つ」の場合。

f(X)＞g(X)
f(X)-g(X)＞0
X^2+2aX+25-(-X^2+4aX-25)＞0
X^2+2aX+25+X^2-4aX+25＞0
2X^2-2aX+50＞0
X^2-aX+25＞0
X^2-2(a/2)X+(a/2)^2-(a/2)^2+25＞0
(X^2-a/2)^2-a^2/4+25＞0

-a^2/4+25＞0
a^2＜100

-10＜a＜10

「どんなX1、X2に対しても、f(X1)＞g(X2)が成り立つ」の場合。

f(X)=X^2+2aX+25
=X^2+2aX+a^2-a^2+25
=(X+a)^2-a^2+25

f(X)の最小値は、-a^2+25

g(X)=-X^2+4aX-25
=-(X^2-4a+4a^2)+4a^2-25
=-(X-2a)^2+4a^2-25

g(X)の最大値は、4a^2-25

どんなX1、X2に対しても、f(X1)＞g(X2)が成り立つためには、f(X)の最小値＞g(X)の最大値であれば良いから、

-a^2+25＞4a^2-25
5a^2＜50
a^2＜10

-√10＜a＜√10

> 答えはー√10<a<√10らしいですが

ということなので、問題文は後者なんでしょうね。

お礼

早速ご回答いただきありがとうございます。文字化けしていて申し訳ありません。
後者の解き方を知りたかったので大変参考になりました。わかりやすく教えていただいて
ありがとうございました。

回答No.1

noname#120160

任意のｘについてｆ（ｘ）>ｇ（ｘ）が成り立つのですから，代入して
ｘ^2＋2ax＋25>－x^2＋4ax－25
が成り立つはずです。これを整理すると
x^2－ax＋25>0
となります。これも任意のxで成り立つのですから，判別式D<0にならなければなりません。
（関数ｙ=x^2－ax＋25がｘ軸に対し接したり交わったりしないということ）
よって
D＝(-a)^2－4・1・25＝a^2－100<0
∴-10<a<10

・・・何かそちらの答と違いますね？
間違いだったらごめん！！<(_ _)>

お礼

早速ご回答いただきありがとうごさいます。文字化けしていて質問内容が正確に伝わらず申し訳ありませんでした。丁寧なご回答ありがとうございました。