二次関数 範囲

質問

問題は
二次関数y=f(x)=ax＾2-(a＋1)x＋2a＋2(a>0)があり、二次関数方程式f(x)=0の相異なる２実数解α、βが次の条件を満たすとき、αのとり得る範囲を求めます

（１）α＜4＜β

どうして、ｆ（４）＝１４a-2<0
なのでしょうか？
答えは0<a<1/7
（２）２＜α＜３＜β

どうして、f(2)=4a>0
f(3)=8a-1<0になるのでしょうか？

答えは0<a<1/8

これはどのように求めるのかわかりません。

お願いします

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

>(2)
がわかりません。
図を書いてかんがえたのですがわかりません

そうですか、しからばy=f(x)のグラフの復習からはじめましょうか。さて、
　y=ax＾2-(a＋1)x＋2a＋2　(a>0)　(1)
で、a>0ですからこのグラフは下に凸の放物線となりますね。α、βの2つの実根をもちますからこのグラフはx軸の2点を通ることになりますね。この2点とはxの値の小さいほうからいうとx=α,x=βの2点（α＜β）ということになります。ここまでいいですか。今、y=f(x)のグラフは図がここではうまく書けないのでアレですが、イメージ的にはには下図のようになりますね。

　　ｙ軸
　　｜　　＼　　　３　　　　　／
　　｜　　　＼　　↓　　　　／
　---------＼---------／-----ｘ軸
　　｜　　↑　　＼　　　／
　　　　　　２　　　＼　／
そうすると絵より
　f(2)＝a・2^2－(a+1)・2＋2a+2＝4a＞０　(2)
　f(3)＝a・3^2－(a+1)・3＋2a+2＝8a-1＜０　(3)
となりますね。(2)より
　a＞0　　(4)
(3)より
　a＜1/8　(5)
従って求めるaの範囲は(4)(5)より
　0＜a＜1/8
となります。

参考URL：

　

回答No.1

KENZOU

関数y=f(x)はa>0より下に凸の放物線となりますね。いま、
f(x)=ax＾2-(a＋1)x＋2a＋2 (a>0) が相異なる2実根α、βを持つためには判別式Ｄ＞０でなければなりません。
　Ｄ=(a+1)^2-4a(2a+2)=-(7a-1)(a+1)>0 (1)
これからaの範囲を求めると
　-1<a<1/7　　(2)
となりますね。ところでa>0ですから、結局aの範囲は
　0<a<1/7　　(3)　
2実根α、βはα<4<βの関係にありますから、下に凸の放物線はx軸とx=α，βの2点を通りますね。x=4はこの間にあるわけですから
　f(4)=14a-2<0　(4)
となりますね。これは図を書くとすぐ分かります。(4)からa<1/7が求まりますが、これは(3)を満たしていますね。

問題２は問題１と同じようにして絵を書いて考えればすぐ分かると思います。TRYしてみてください。

補足

(2)
がわかりません。
図を書いてかんがえたのですがわかりません

お願いします