ジョルダン標準形

質問

ジョルダン標準形の作り方がわかりません

例えば
（　０　-1　-1　０　）
（　-1　１　０　１　）
（　２　１　２　-1　）
（　-1　-1　-1　１　）　　　　（4行4列の行列式）

のジョルダン標準形を求めるとき
固有方程式が（ｔ－１）＾４　になったので
固有値は１、　重複度は４　というところまでは計算したのですが、
その後の方法が分かりません

（　４　１　０　０　）
（　０　４　１　０　）
（　０　０　４　１　）
（　０　０　０　４　）　　　　　とかでいいんでしょうか？

回答No.6

guuman · ベストアンサー

以上でもうできたようなものだ

やってきたことをまとめると

J=
[λ 1 0 0]
[0 λ 0 0]
[0 0 λ 1]
[0 0 0 λ]

(A-λ・E)・a=0
(A-λ・E)・x=a
(A-λ・E)・b=0
(A-λ・E)・y=b
よって
A・a=λ・a
A・x=λ・x+a
A・b=λ・b
A・y=λ・y+b
並べると
(A・a,A・x,A・b,A・y)=(λ・a,λ・x+a,λ・b,λ・y+b)
すなわち
A・(a,x,b,y)=(a,x,b,y)・J
ここで
P=(a,x,b,y)
とおくと
A・P=P・J
すなわち
J=P^(-1)・A・P

以下検算
行列P=(a,x,b,y)を補足に書き(写すだけ)
|P|を計算しその値を補足に(0でないことを確認せよ)
A・P=P・J

以上で問題なければ
なお暇ならば
P^(-1)
を計算して補足に書き
P^(-1)・A・P
を計算しこれが一致することを補足に

お礼

長らく、返事できなくてすみませんでした。
習ったとおりにきちんと計算もいたしました。
（計算用紙をなくしたので、載せられませんが）

細かくご教授いただき有難う御座いました。感謝感謝です。

回答No.5

kup3kup3

こんばんは。
偉大なguumanさんとのやりとりを見させていたのですが、あのあとはどうなったのですか。
(A－E）^2=Ｏ　となるので(2,2）型で
(A－E)c=a，(A－E)d=bなる　c,dを
a=(1 0 -1 1)^t,c=(0 -1 0 0)^t
b=(0 1 -1 0)^t,d=(0 0 0 1 )＾t、
ととってＰをa,c,b,の順にならべて、
Ｐ=(a,c,b,d)
(1 0 0 0)
=(0 -1 1 0)
(-1 0 -1 0
(1 0 0 1)
と置けばよいということですね。
detP=1、Ｐ＾(-1)
　(1 0 0 0)
=(-1 -1 -1 0)
(-1 0 -1 0)
(-1 0 0 1)
となるので、
Ｐ^(-1)AP
(1 1 0 0)
=(0 1 0 0 )
(0 0 1 1)
(0 0 0 1)
の(2,２）型というわけですね。
勉強になりました。

回答No.4

guuman

それでもいい
しかし0が多い成分のほうが後の検算が楽だ
x=
[ 0]
[-1]
[ 0]
[ 0]
なんかおすすめだね
強制はしないのでそれでいい
そもそもyも求めてから確認せよ
時間と書く手間が無駄だ

補足

すみませんでした。　手順に自信がなくて・・・。

X = [ 0 ]
[ -1]
[ 0 ]
[ 0 ]

Y = [ 0 ]
[ 0 ]
[ 0 ]
[ 1 ]　　　　

になりました。

回答No.3

guuman

うっかりミス
4次の場合2個の固有ベクトルを持つ場合標準型は(2,2)型以外に(3,1)型がある
したがって
(A-λ・E)^2
を計算してみなければならない
(A-λ・E)^2=0
だと(2,2)型でありそうでないと(3,1)型だ
(A-λ・E)^2
を計算せよ
なお(3,1)型の標準型は
J=
[1 1 0 0]
[0 1 1 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

回答No.2

guuman

こちらは検算しないので間違っていたら後で矛盾が生じるがその時にはやり直せ
行ベクトルで書いてあるが列ベクトルなので表現に気をつけろ
その2つの列ベクトルをa,bとおく
固有値はλ=1とおく
もとの行列をAとおく

2つの独立固有ベクトルがあることによりジョルダン細胞は2個である
4次の場合ジョルダン細胞が2個の標準型は(2,2)型しかないので
以下のように標準型が決まる
J=
[1 1 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 1]
[0 0 0 1]

次に
(A-λ・E)・x=a
を満たす列ベクトルxと
(A-λ・E)・y=b
を満たす列ベクトルyを求めろ
これが出きればほとんど終わり

補足

丁寧にありがとうございます。

(A-λ・E)^2＝０　になりました！　てことは（2.2)型なのですね。
No.２で示していただいたｘとｙは実数値で出ないとおかしいですか？
ｘ＝
[ x1 ]
[ x2 ]
[ x3 ]
[ x4 ]

とすると　x1=x4　　　　x1＋x2＋x3　＝－１
となったのですが。　
これを満たすようなベクトルを適当に１つえらんで
ｘ＝
[ 1 ]
[ -1 ]
[ -1 ]
[ 1 ]

とかにしちゃっていいのでしょうか。

回答No.1

guuman

独立な固有ベクトルを全て求め
導出過程とともに補足に書け

補足

回答ありがとうございます。　
本に書いてあることに対して今イチ理解不足ですがやってみます。

固有値が１なので、
Ax = x x = t[ x1 x2 x3 x4 ] 　とすると

- x2 - x3 = x1
- x1 + x2 + x4 = x2
2x1 + x2 + 2x3 - x4 = x3
-x1 - x2 - x3 x4 = x4

より、　x1 = x4 x1+x2+x3=0

x = m[ 1 0 -1 1 ] + n[ 0 1 -1 0 ]