グラムシュミットとジョルダン標準形

質問

ある行列を対角化するとき、固有値が重解の場合に、
固有ベクトルの求め方がこんがらがってしまいました。

グラムシュミットの正規直交化とジョルダン標準形の2つが出てくるのですが、
どのようなときにどちらを使うのか教えてください。
もしくはどちらも使うものなんでしょうか？

ジョルダン標準形を求めるときに、固有ベクトルを正規直交化すると
うまくいかなかったりしたので…

お願いします。

回答No.1

guuman · ベストアンサー

正規直交化はユニタリ行列を作成するために使う
正規行列はユニタリ行列によって直交化される
ユニタリ行列で直行化されたものは正規行列である

ジョルダン化するときにはユニタリ行列は使わない
もちろん使えるならばあえて使ってもいいがな
したがってジョルダン化の過程で直交化の作業はない

>ジョルダン標準形を求めるときに、固有ベクトルを正規直交化すると
>うまくいかなかったりしたので…

何をジョルダン化しようとしたのか補足に書け
その方法も書け

補足

回答ありがとうございます。

ということは、ただ対角化せよ、という場合は
ただジョルダン化すればいいということですか？

問題として、直交（ユニタリ）行列を使って対角化せよ、
と言われた場合は
固有ベクトルを正規直交化をしてもうまくいく行列が
与えられている、ということでしょうか。

回答No.4

guuman

A=
[2 -1 0 0]
[0 2 0 0]
[0 -1 2 0]
[0 0 0 2]
の参照ページの解き方には問題がある
もっと一般的な解き方を説明する
まず、固有多項式とその因数分解式を補足に書け

回答No.3

guuman

>ということは、ただ対角化せよ、という場合は
>ただジョルダン化すればいいということですか？
そんなこと書いてないだろうが
対角せよとある場合は対角化できるはずなので
対角化すればいいのだ
直交行列を使って対角化せよとあったら
その行列は実対称行列であるので直交行列によって対角化すれば良い
ジョルダン化は対角化できない場合にやるものだ
そのときに通常ユニタリ行列や直交行列は使わない

>問題として、直交（ユニタリ）行列を使って対角化せよ、
>と言われた場合は
>固有ベクトルを正規直交化をしてもうまくいく行列が
>与えられている、ということでしょうか。

定理：実対称行列は直交行列によって対角化される
定理：直交行列によって対角化されるならばその実行列は実対称行列である

つまり直交行列によって対角化せよという場合は
その実行列が対称行列でなければ不可能だということだ
その実行列が対称行列でなければ問題が間違っているということだ

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

guuman

表現がおかしかったので修正

正規直交化はユニタリ行列を作成するために使う
正規行列はユニタリ行列によって対角化される
ユニタリ行列で対角化されるものは正規行列である

補足

ジョルダン化したのは

A=(2 -1 0 0, 0 2 0 0, 0 -1 2 0, 0 0 0 2)

http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/linear/line7.pdf
の問題です。